0 1) De wortelfunktie

a) De wortel van een positief getal

In wiskunde voor de B-operator hebben we kennis gemaakt met de bewerking : worteltrekken

genoteerd : Ö

We gaan nu onderzoeken de functie

y = Öx

Daarom gaan we eerst na wat worteltrekken betekent. Een getallenvoorbeeld:

De wortel uit 100 is 10

omdat

10×10 = 100

Volgens de rekenmachine geldt:

= 1.4142136........

waarbij de puntjes aangeven dat we eeuwig door kunnen gaan met het geven van nog meer cijfers aan het eind;

Î Å

Ï Ä

We kunnen Ö2 niet schrijven als een breuk van twee gehele getallen.

Wel geldt

Ö2×Ö2 = 2

waarbij we Ö2 benaderen door

Ö2 » 1,41

Opdracht: ga na dat op de rekenmachine geldt:

1.4142136² = 2,0000001 terwijl eerst invoeren

en vervolgens kwadrateren precies 2 oplevert. Verklaar dit!

c) Het domein en bereik van de wortelfunktie

i) Domein

We stellen nu de vraag:

kunnen we ook een getal .... vinden zodanig dat geldt:

= ...... ?

We proberen voor ...... een getal in te vullen;

stel dit getal is positief.

positief getal × positief getal = positief getal

dus ...... kan geen positief getal zijn.

stel dit getal is negatief.

negatief getal × negatief getal = positief getal

dus ...... kan geen negatief getal zijn.

Ook 0 kan het niet zijn, de konklusie is

Ï Å

Men gaat gemakkelijk na dat voor ieder ander negatief getal onder de wortel dezelfde redenatie opgaat. De wortel uit een negatief getal bestaat niet in Å; het domein van

y = Öx

D_f = Å⁺.

iii) Bereik

In het voorafgaande hebben we gezien dat wortel trekken van een getal alleen mogelijk is als dat getal positief is. Nu stellen we de vraag:

kan de bewerking wortel trekken een negatief getal opleveren?

We hebben gezien dat

omdat

10×10 = 100

Echter ook voor -10 geldt:

(-10)×(-10) = 100

zodat we zouden kunnen denken dat

Evenzo geldt

= 1.4142136........

omdat

1.4142136........×1.4142136........ = 2

Echter ook hier geldt

-1.4142136........×-1.4142136........ = 2

We maken in de wiskunde de afspraak dat de wortel van het getal 100 het positieve getal is dat men in het kwadraat moet nemen om 100 te krijgen. Er geldt dus uitsluitend .

Evenzo is Ö2 het positieve getal dat in het kwadraat 2 geeft.

In het algemeen geldt dus

Öx = y

Ûx = y×y = y²en y ³ 0

We kunnen nu spreken van de wortelfunktie.

Immers bij iedere toegestane waarde van x (van het domein) hoort nu één waarde y (van het bereik).

Er geldt

B_f = Å⁺

De wortel van een positief getal is een positief getal,

het bereik van

y = Öx

B_f = Å⁺

v) Samenvatting wortelfunktie:

Voor de wortelfunktie geldt:

y = Öx

x is positief (of nul);

x ³ o oftewel D_f = Å⁺.

Zoek een positief getal y waarvoor geldt dat het kwadraat van y gelijk is aan x:

y² = y.y = xen y ³ 0 oftewel B_f = Å⁺.

x y=Öx

0.26 0.509901

0.27 0.519615

0.28 0.529150

0.29 0.538516

0.30 0.547722

0.31 0.556776

0.32 0.565685

0.33 0.574456

0.34 0.583095

0.35 0.591607

0.36 0.600000

0.37 0.608276

0.38 0.616441

0.39 0.624499

0.40 0.632455

0.41 0.640312

0.42 0.648074

0.43 0.655743

0.44 0.663324

0.45 0.670820

0.46 0.678232

0.47 0.685565

0.48 0.692820

0.49 0.700000

0.50 0.707106

xy=Öx

0.00 0.000000

0.01 0.100000

0.02 0.141421

0.03 0.173205

0.04 0.200000

0.05 0.223606

0.06 0.244948

0.07 0.264575

0.08 0.282842

0.09 0.300000

0.10 0.316227

0.11 0.331662

0.12 0.346410

0.13 0.360555

0.14 0.374165

0.15 0.387298

0.16 0.400000

0.17 0.412310

0.18 0.424264

0.19 0.435889

0.20 0.447213

0.21 0.458257

0.22 0.469041

0.23 0.479583

0.24 0.489897

0.25 0.500000

xy = Öx

0.60 0.774596

0.70 0.836660

0.80 0.894427

0.90 0.948683

1.00 1.000000

1.10 1.048808

1.20 1.095445

1.30 1.140175

1.40 1.183215

1.50 1.224744

1.60 1.264911

1.70 1.303840

1.80 1.341640

1.90 1.378404

2.00 1.414213

3.00 1.732050

4.00 2.000000

5.00 2.236067

6.00 2.449489

7.00 2.645751

8.00 2.828427

9.00 3.000000

10.00 3.162277

11.00 3.316624

12.00 3.464101

13.00 3.605551

14.00 3.741657

15.00 3.872983

16.00 4.000000

17.00 4.123105

18.00 4.242640

19.00 4.358898

20.00 4.472135

e) De grafiek van de wortelfunctie

Voor het maken van een grafiek van de functie

y = Öx hebben we een tabel gemaakt van 0 tot 2.

Aan de tabel zien we dat voor x < 1 x < Öx; voor x > 1 geldt x > Öx. De grafiek is in onderstaande figuur getekend.

Kontroleer enkele waarden uit de tabel met behulp van de rekenmachine.

g) Wortelfunktie als halve parabool

De grafiek van de functie

f(x) = Öx

is een halve parabool. Immers uit

y = Öx

volgt

y² = x en y ³ 0

Dit kunnen we schrijven als :

x = y² en y ³ 0

Hier staat x als tweede graads functie van y, waarbij y positief (of eventueel 0) moet zijn.

We kunnen het ook zo stellen:

indien we in de formule

y = x²

x en y verwisselen ontstaat de formule

x = y²

Het verwisselen van x en y komt overeen met het spiegelen van de grafiek van de functie y = x² ten opzichte van de lijn

y = x

Om na te gaan wat spiegelen ten opzichte van de lijn y = x betekent gaan we eerst voor één punt na wat er gebeurt:

Afbeelding 35 Spiegelen van het punt (2,4) ten opzichte van de lijn y=x in het punt (4,2).

beschouw bijvoorbeeld het punt (2 , 4).

Afbeelding 36 y=x² y=Öx y=-Öx en de lijn y=x

Na spiegeling verkrijgen we het punt (4 , 2). Dit komt overeen met het verwisselen van de x en y coördinaat van het punt (2 , 4)

│ │

└───┘

Doen we hetzelfde voor alle punten van de grafiek van

y = x²

dan krijgen we een parabool die symmetrisch is rond de x-as (dat is de lijn y = 0).

De vergelijking van deze parabool is dan

x = y²

Deze parabool wordt beschreven door de twee funkties

y = Öx of y = -Öx

Zie bovenstaande afbeelding.

Uit y = Öx volgt : y² = x

Uit y = -Öx volgt : y² = x

Uit y² = x volgt : y = Öx of y = -Öx.

i) Toepassingen

Voorbeeld 1

Gegeven de functies

Bepaal de parameter c zodanig dat de functie g de functie f raakt.

Bereken vervolgens dit raakpunt.

oplossing

D_f : 2x+1 ³ 0 Domein bepalen

2x ³ -1 - 1

x ³ -½ : 2

B_f : Ö(2x+1) ³ 0 Bereik bepalen

Ö(2x+1) + 1 ³ 1 +1

y ³ 1

Nu gaan we oplossen:

f(x) = g(x) gelijkstellen

Ö(2x+1) + 1 = x + c invullen

Ö(2x+1) = x + c - 1 wortel isoleren

2x + 1 = ( x + c - 1 )² ** KWADRATEREN **

...klad...

( x + c - 1 )² =

( x + c - 1 )×( x + c - 1 ) =

x×x+x×c+x×-1+c×x+c×c+c×-1+-1×x+-1×c+-1×-1 =

x² + 2c×x + -2x + c² -2c + 1 =

x² + (2c-2)×x + c² -2c + 1

2x + 1 = x² + (2c-2)×x + c² -2c + 1 uitwerking

0 = x² + (2c-4)×x + c² -2c -2x-1;op 0 herleiden

Noodzakelijk voor het raakpunt

D = 0

de diskriminant van de vergelijking is nul.

Bepaal de parameters ABC:

A = 1B = 2c-4C = c² -2c

4c² -16c + 16 -4c² +8c = 0

-8c + 16 = 0

-8c = -16

c = -16 = 2

-8

Afbeelding 37 f(x)=Ö(2x+1) g(x)=x+2

Þ g(x) = x + 2

Nu gaan we oplossen:

f(x) = g(x) gelijkstellen

Ö(2x+1) + 1 = x + 2 invullen

Ö(2x+1) = x + 1 wortel isoleren

2x + 1 = (x + 1)² wortel wegmaken

2x + 1 = x² + 2x + 1 op 0 herleiden

0 = x² - 2x - 1

x = 0 oplossing gevonden

f(0) = g(0) KONTROLE:

Ö(2×0+1) + 1 = 1 + 1

Ö1 + 1 = 2

2 = 2 KLOPT

dus

x = 0 Þy = 2

Raakpunt (0,2)

x = 0 zit in het domein; y=2 zit in het bereik.

De oplossing voldoet. De kontrole van het antwoord is noodzakelijk om dat we in de afleiding gekwadrateerd hebben.

Tenslotte maken we een grafiek van f en g

Voorbeeld 2

Gegeven de functies

Afbeelding 38 y=Ö(x+1)+2 y=-x+¾ y=-Ö(x+1)+2

Bepaal de parameter c zodanig dat de functie g de functie f raakt.

Bereken vervolgens dit raakpunt.

oplossing

D_f : x+1 ³ 0 Domein bepalen

x ³ -1 - 1

B_f : Ö(x+1) ³ 0 Bereik bepalen

Ö(x+1) + 2 ³ 2 - 2

y ³ 2

Nu gaan we oplossen:

f(x) = g(x) gelijkstellen

Ö(x+1) + 2 = -x + c invullen

Ö(x+1) = -x + c - 2 -2 ; wortel isoleren

x + 1 = ( -x + c - 2 )² ** KWADRATEREN **

...klad...

( -x + c - 2 )² =

( -x + c - 2 )×( -x + c - 2 ) =

-x×-x+-x×c+-x×-2+c×-x+c×c+c×-2+-2×-x+-2×c+-2×-2 =

x² - 2c×x + 4x + c² -4c + 4 =

x² + (4 - 2c)×x + c² - 4c + 4

x + 1 = x² + (4-2c)×x + c² - 4c + 4 op 0 herleiden

0 = x² + (3-2c)×x + c² -4c + 3 - 2x - 1

Noodzakelijk voor het raakpunt

D = 0

de diskriminant van de vergelijking is nul.

Bepaal de parameters ABC:

A = 1B = -2c + 3C = c² - 4c +3

4c² -12c + 9 -4c² + 16c - 12 = 0

4c + -3 = 0

c = 3

Þ g(x) = -x + ¾

Nu gaan we oplossen:

f(x) = g(x) gelijkstellen

Ö(x+1) + 2 = -x + ¾ invullen

Ö(x+1) = -x - 1¼ wortel isoleren

x + 1 = (-x - 1¼)² kwadrateren

x + 1 = x² + 2½x + 25 op 0 herleiden

0 = x² + 1½x + 9 - x - 1

0 = (x + 3)²

x = -¾ kandidaat oplossing gevonden

f(-¾)= KONTROLE:

Ö(-¾+1) + 2 =

Ö¼ + 2 = ½ + 2 = 2½

g(-¾)= --¾ + ¾ = 1½

2½ ¹ 1½ KLOPT Niet

dus

x = -¾ Þf(-¾) = 2½ Ùg(-¾) = 1½

( Ù betekent en)

x = -¾ zit in het domein; y=2.5 zit in het bereik van f, echter y = 1,5 zit niet in het bereik van f.

De oplossing voldoet niet. In feite hebben we een oplossing gevonden van een lijn die raakt aan de parabool met de vergelijking

Dit wordt veroorzaakt doordat we in de afleiding een vergelijking gekwadrateerd hebben.

Tenslotte maken we een grafiek van f en g

Bij het uitwerken van een vergelijking kan men :

-aan beide zijden van het is gelijk teken = een willekeurig getal optellen (of aftrekken).

-aan beide zijden van het is gelijk teken = een willekeurig getal vermenigvuldigen (of delen, behalve door 0)

Indien men aan beide zijden van het is gelijk teken = kwadrateert, dan kan dit tot gevolg hebben dat er oplossingen worden gevonden die niet in overeenstemming zijn met de oorspronkelijke vergelijking. Kontrole achteraf van het verkregen antwoord is dan noodzakelijk.

Kort gezegd:

KWADRATEREN = KONTROLEREN!!!

k) VRAGEN

(1) Teken de grafiek van de volgende functies.

Geef ook steeds het domein en bereik van de functies.

a y = Öx

b y = -Öx

c y = Ö-x

d y = -Ö-x

(2) Teken in een figuur de grafieken van de functies

Laat met een berekening zien dat de grafiek van h de grafiek van g raakt.

Bereken het raakpunt van h en g.

Laat door middel van een berekening zien dat de grafiek van h de grafiek van f niet snijdt

(3) IÖ26 is geen rationaal getal ; Ö26 Ï Ä

IIÖ16 is een geheel getal : Ö16 Î Á

(a)beide beweringen zijn juist

(b)Alleen I is juist

(c)Alleen II is juist

(d)Beide beweringen zijn onjuist

(4) Gegeven de functie

Het domein en het bereik van de functie f zijn:


a x £ -1	y £ 0
b x £ 1	y £ 0