1) Logaritmische
functies
a) logaritme
i) grondtal 2
In het vorige hoofdstuk hebben we kennis gemaakt met de
exponentiële funktie., bijvoorbeeld de funktie
y = 2x
Indien we x en y verwisselen dan krijgen we de vergelijking
x = 2y
Hiervoor schrijven we
y = 2log x
Het verwisselen van x en y komt overeen met het spiegelen van de
grafiek van de exponentiële funktie y = 2x ten opzichte van de
lijn y = x. We krijgen dan de grafiek van de funktie y = 2log x.
Onder de logaritmische funktie f(x) = 2log x verstaan we dus de funktie
f die aan een positief getal x toevoegt het getal y , zodanig dat geldt
y = 2log x Û x = 2y
We spreken van de logaritme
met grondtal g = 2.
We kunnen ook andere positieve grondtallen g nemen:
g >
Hiervoor geldt dezelfde afspraak als voor het grondtal van een
exponentiële funktie.
|
glog
a = b Û gb = a
|
Algemeen geldt:
We zeggen ook wel: de logaritme is de inverse funktie van de
exponentiële funktie. We hebben bijvoorbeeld gezien dat een kapitaal van ¦ 1000,-
dat uitstaat tegen 8% rente per jaar voldoet aan het funktievoorschrift
K(t) = 1000 . 1,08t
Vullen we een waarde van t in, dan krijgen we een waarde van K.
Stellen we nu de vraag: als het kapitaal K ¦
5000,- is, hoeveel jaar hebben we dan gewacht? , dan is het antwoord
t = 1,08log 5
want dan geldt: 1,08t = 5 , zodat K = 1000 . 5 = 5000
|
|
|
We zien dat met logaritmen werken alleen maar een andere manier
is om machten op te schrijven.
We maken met behulp van de definitie van de logaritme nu een tabel
voor enkele (handig gekozen ) waarden
|
|
van x en van y = 2log.(vergelijk ook
met de tabel van y=2x in hoofdstuk VIII)
Vervolgens gebruiken we deze tabel om een grafiek te tekenen
van de funktie y = 2log x.
De funktie y = 2log x is alleen gedefinieerd voor positieve
waarden van x:
Df = Å+
De waarden die y kan aannemen zijn alle reële getallen:
Bf = Å
Het nulpunt (snijpunt met de x-as) van de funktie y = 2log
x is het punt (1,0).
Immers 2log 1 = 0 volgt uit het feit dat 20 =
1.
De funktie is overal stijgend
De y-as (de lijn x=0) is een vertikale asymptoot van de
funktie y = 2log x: als x in de buurt van 0 komt dan wordt y een
zeer groot negatief getal; de afstand van de grafiek van de funktie
y = 2log x tot de y-as wordt dan steeds kleiner, zonder dat
de grafiek de y-as ooit raakt.
iii) grondtal 10
Indien we een ander grondtal nemen dan 2, bijvoorbeeld g = 10
dan kunnen we met wederom een tabel maken .
Df = Å+
|
|
|
Bf = Å
Het nulpunt van de funktie y = 10log x is het
punt (1,0).
Immers 10log 1 =
0 volgt uit het feit dat 100 = 1.
De y-as (de lijn x=0) is een vertikale asymptoot van de funktie
y = 10log x: als x in de buurt van 0 komt dan wordt y een zeer groot
negatief getal. In onderstaande grafiek zijn getekend zowel de funktie
f(x) = 2log x als de funktie g(x)
= 10log x
We zien : beide funkties gaan door het punt (1,0). Dit geldt zelfs
voor iedere logaritme , zoals we na kunnen gaan :
|
glog 1 = 0 Û
g0 = 1
|
en dit geldt voor ieder grondtal g.
|
Afbeelding 151 f(x)=2log
x g(x)=10log x |
Voor wat betreft de funktie y = 10log x hebben we het
voordeel dat deze standaard aanwezig is op de rekenmachine:
dit
is de toets
|
log
|
Het is de gewoonte om de funktie y = 10log x af te korten
tot :
y = log x
De afspraak is dus dat als er geen grondtal g staat bij een logaritme,
het grondtal g gelijk is aan tien: g = 10
log = 10log
(vergelijk hiermee bijvoorbeeld de afspraak : Ö = 2Ö
)
|
|
|
We zien dat geldt:
als
x > 1 dan is 2log x > 10log x
als
0 < x < 1 dan is 10log
x > 2log x
v) grondtal o < g < 1
Vervolgens willen we nagaan hoe de grafiek eruit ziet van een
logaritme met een grondtal tussen 0 en 1 :
0 < g < 1
Als voorbeeld nemen we
y = ½log x
We zien ½log 4 = -2, want
½-2 = 1 / (½)2 = 1 / ¼ = 4
|
Afbeelding 152 y = 0,5log
x |
We maken van nevenstaande tabel gebruik om de grafiek te tekenen
van de funktie
y = ½log
x
Er geldt:
Df
= Å+
Bf
= Å
nulpunt
(1,0)
Funktie
overal dalend, y-as asymptoot: voor x nadert tot 0 gaat y naar
een zeer grote positieve waarde.
|
|
|
Indien we willen vergelijken de grafiek van f(x) = ½log
x met de grafiek van h(x) = 0,1log x dan is het nodig om eerst enkele
waarden uit te rekenen van deze funktie h(x).
We zien aan de grafiek en aan de tabel van
y = ½log x dat geldt:
½log x = - 2log x
en ook dat geldt:
0,1log x = - 10log x
|
|
Algemeen geldt:
Ga met behulp van de definitie van log waarom dit zo is.
Net als bij exponenten kunnen we ook bij logaritmes uitsluitend
werken met grondtallen g die groter zijn dan 1 :
g > 1
als we met grondtallen tussen 0 en 1 werken: 0 < g
< 1 dan kunnen we met hulp van bovenstaande formule een - teken plaatsen
en overstappen op grondtal 
>
1
We vatten de eigenschappen van y = glog x voor een
willekeurig grondtal g met 0 < g < 1 of 1 < g nog eens samen:
Voor y = glog x geldt:
Df = Å+
Bf = Å
nulpunt (1,0)
y-as asymptoot
als
g > 1 dan is de funktie stijgend
als
g < 1 dan is de funktie dalend.
y-as
asymptoot als x nadert tot 0
( 0 < g < 1 y ® ¥
; g > 1 y ® -¥)
|
Afbeelding 153 f(x)=0,5log
x h(x)=0,1log x |
|
Afbeelding 154 y=2x y=x
en y=2log x |
c) Rekenmachine
Op de meeste rekenmachines zitten twee logaritmes:
log = 10log
ln = 2,7182818...log
Het getal 2,7182818... is een bizonder getal dat weergegeven wordt
met de letter e = 2,7182818...
Dit getal speelt een speciale rol bij exponentiële functies en logaritmen,
waarop we hier niet verder in kunnen gaan. We kunnen dit vergelijken met de
speciale rol die het getal π = 3,1415927... speelt bij cirkels.
Voor onze doeleinden volstaat het om te weten dat op de rekenmachine een
tweetal functies voorkomen genaamd:
|
ex
|
= 2,71828...x
en de funktie
|
ln x
|
= elog x = 2,71828log x
Daarnaast zit er op de rekenmachine een tweetal functies:
|
10x
|
en ook de funktie
|
log x
|
= 10log x
Bovendien treffen we nog een tweetal toetsen aan die we kunnen
gebruiken bij het rekenen met exponenten:
of op sommige rekenmachines:
(dit maakt voor de berekening niets uit)
en soms een toets :
Met behulp van deze toetsen kunnen we gemakkelijk rekenen
Aan de hand van een paar voorbeelden zullen we dit laten zien
i) Voorbeelden
i Bereken 10log
50
toets
in antwoord:
|
50
|
|
log
|
|
1,69879
|
ii bereken 1,0820
Toets
in
|
1,08
|
|
20
|
|
=
|
|
4,6609571
|
111 bereken 4Ö10
a Toets
|
10
|
|
10
|
|
.25
|
|
=
|
|
1.7782794
|
b Toets
|
10
|
|
4
|
|
=
|
|
1.7782794
|
iii) logaritmes met willekeurige grondtallen
We
zien dat op de rekenmachine geen toets aanwezig is om voor willekeurige
grondtallen g te berekenen glog x
Indien we toch een logaritme willen berekenen voor een ander
grondtal dan 10 dan moeten we een trucje toepassen, dat we verderop zullen uitleggen
als we rekenregels voor logaritmes zullen behandelen. We laten dan zien dat
geldt:
|
|
Hiermee kunnen we dan andere logaritmes bereken dan met grondtal
10:
|
|
v Bijvoorbeeld : bereken 2log 25
Er
geldt 2log 25 = log 25 / log 2
We
toetsen in:
|
25
|
|
log
|
|
¸
|
|
2
|
|
log
|
|
=
|
|
4.6438562
|
Opmerking: het is niet nodig om haakjes te gebruiken
We kunnen nu iedere exponentiële vergelijking met één onbekende
oplossen:
bijvoorbeeld:
10x=500 Û x = log 500 = 2.69897
Of bijvoorbeeld:
2x
= 1000 Û x = 2log 1000 = log 1000 / log 2 = 9.96578
e) OPGAVEN
1 Bereken in twee decimalen nauwkeurig:
a log 3
b log 9
c log 50
d log 90
e log 100
f log 200
g log 500
h log 1000
2 bereken in drie decimalen
a log 3,7 . 105
b log 5,8 . 10-3
c log 7,4 . 1050
f log 9,9 . 1099
g log 1,5 . 10--50
3 Bereken in 5 decimalen
a 3log 10
b 2log 7
c 8log 3
d 4log 9,75
e 2,7log 100
f 0,2log 35
4 Bereken exact (zonder rekenmachine)
a 2log 16
b log 100000
c log 0,0001
d 5log 125
e 0,2log 0,008
f 3log 81
g 3log (1/27)
5Teken in een figuur de grafieken van de funkties y=(0,5)xy=0,5log
x en de lijn y=x.
g) Rekenregels
voor logaritmen
Indien we de vergelijking
2x = 8
oplossen dan vinden we
x = 2log 8 (=
3)
Als we beide vergelijkingen kombineren en x elimineren, dan
ontstaat de gelijkheid:
|
|
Ditzelfde kunnen we doen voor een willekeurig grondtal g :