het hotel van Hilbert

In het hotel van de heer Hilbert zijn oneindig veel kamers
De kamers zijn genummerd :
1,2,3,4,5,6,7, .... enz


Op een morgen komen er oneindig grote groep gasten aan in het hotel.
De heer Hilbert nummert de gasten: 
gast_1,gast_2,gast_3,gast_4,,... enz
Alle gasten gaan naar een kamernummer dat overeenkomtg met hun gast nummer:
gast_1 in kamer 1
gast_2 in kamer 2 
enzovoorts
Gast N in kamer N

Nu hangt de heer Hilbert een bord op voor zijn hotel met de tekst 
"VOL / FULL / COMPLET "
want alle kamers van het hotel zijn nu gevuld

Dan meldt zich een nieuwe gast aan de balie en deze gast vraagt om een kamer.
Via de omroepinstallatie geeft de heer Hilbert de hotelgasten de opdracht allemaal één plaats op te schuiven!
Dus gast_1 in kamer 2
gast_2 in kamer 3
enz.
Dus Gast N in kamer N+1
Kamer 1 is nu vrij en de nieuwe gast krijgt kamer 1 toegwezen
Nog steeds hangt het b ord "VOL" voor het hotel, maar dan komt een nieuwe groep gasten aan bij het hotel.
Het zijn er oneindig veel, en ondanks het bord vol vragen ze om een kamer!
De heer Hilbert geeft nu de volgende opdracht:
"alle gasten in kamer met nummer N moeten naar kamer met nyummer 2 x N"
Dus kamer 1 verhuist naar kamer 2
kamer 2 verhuist naar kamer 4
kamer 3 verhuist naar kamer 6
kamer 4 verhuist naar kamer 8, kamer 5 verhuist naar kamer 10
enzovoorts.
Oude gast N naar kamer 2xN
Alleen de even kamernummers zijn nu bezet , de kamer nummers 1,3,5,7,9 .... zijn vrij.
De oneven kamernummers worden nu toegewezen aan de nieuwe groep gasten:
gast 1 kamer 1
gast 2 kamer 3
gast 3, kamer 5
gast 4 kamer 7


nieuwe gast N  gaat naar kamer 2xN-1