I. Exponentiële funkties

II.1� Rekenregels voor exponenten

Een voorbeeld:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 = 15

│ │

└───────────────┘

5 x

Vijf getallen 3 bij elkaar optellen is vijf vermenigvuldigen met 3.

algemene regel:

a + a + a + a + ... + a = n × a

│ │

└──────────────────────┘

n x

voor willekeurige a Î Å en n Î Á

ander voorbeeld:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵= 243

Men spreekt van grondtal 3 met exponent 5

Vijf getallen 3 met elkaar vermenigvuldigen is

3 tot de macht 5

algemene regel:

a × a × a × a × a × a ..... × a = a ⁿ

│ │

└─────────────────────────────────┘

n x

voor a Î Å en n Î Á

grondtal a en exponent n.

In onderstaand overzicht zijn alle rekenregels die gelden voor exponenten op een rij gezet. De meeste ken je hopelijk.

Daaropvolgend zijn we de rekenregels voor exponenten nog eens nagegaan aan de hand van eenvoudige getallenvoorbeelden.

II.3� Overzicht rekenregels voor exponenten

i1

ii2

iii3

iv4

v5

vi6

vii7

viii8

II.4�a� Verantwoording rekenregels voor exponenten

Aan de hand van een paar voorbeelden gaan we de rekenregels nog eens na. Allereerst de hoofdeigenschap van exponenten:

19

neem bijvoorbeeld

p=3 q=4

dan is

a³ × a⁴ = ( a × a × a ) × ( a × a × a × a )

= a × a × a × a × a × a × a

= a⁷

3 + 4 = 7

ii10

neem bijvoorbeeld p = 2 en q = 3

dan is

(a²)³ = a² × a² × a²

= ( a × a ) × ( a × a ) × ( a × a )

= a × a × a × a × a × a

= a ⁶

2 × 3 = 6

iii11

neem bijvoorbeeld p = 5 en q = 2

12

5 - 2 = 3

Indien p = 2 en q = 5 dan volgt

13

hiermee zien we ook

iv 14

Als we nemen :

p = q en toepassen

(iii)15dan volgt

16

anderzijds geldt:

17

Hieruit volgt:

v18

geldt voor ieder getal a.

Nu zullen we een voorbeeld geven van:

vi19

20

neem bijvoorbeeld: p = 3dan geldt

21

In deze voorbeelden van de rekenregels voor exponenten hebben we gewerkt met exponenten uit de verzameling natuurlijke getallen = { 0, 1 , 2, .... } = Á

en ook met getallen uit de verzameling gehele getallen

= { ... , -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, ,3 , .... } = Í

Zonder nadere toelichting beweren we nu dat de rekenregels voor exponenten ook geldig zijn voor alle rationale getallen uit Ä, we beweren zelfs dat de rekenregels voor exponenten geldig zijn voor alle reële getallen uit Å.

De rekenregels voor exponenten gelden DUS voor alle exponenten p, q uit Å.

II.5� Gebroken exponenten ,Grondtal

Voor het grondtal nemen we alleen positieve getallen ongelijk 0 en ongelijk 1.

Dit zullen we zo nader toelichten, eerst kijken we wat het eigenlijk betekent als we in plaats exponenten bestaande uit gehele getallen een exponent nemen die bijvoorbeeld een breuk is.

Wat zouden we willen verstaan onder:

22?

We willen dat de hoofdeigenschap blijft gelden:

23

BLIJKBAAR GELDT:24

Evenzo kunnen we vragen naar de betekenis van:

25

De hoofdeigenschap moet gelden, zodat

BLIJKBAAR GELDT:26

want volgens de hoofdeigenschap:

27

We kijken niet naar de volgende grondtallen:

igrondtal a = 1

omdat voor ieder getal x geldt

28

(de rekenregels gelden wel maar hebben weinig praktisch nut)

iigrondtal a = 0

Delen door nul mag nooit;

dus in formules waar gedeeld wordt, zoals

29

mag a niet gelijk zijn aan nul.

Er geldt:

30

als x positief; als x negatief: mag niet. Wederom heeft dit weinig praktisch nut.

iiigrondtal a < 0

Voor negatieve grondtallen komen we al snel in de moeilijkheden terecht als we gaan rekenen.

Å

Zo bestaat -1^1/2 niet in de verzameling reële getallen ; de wortel uit -1 bestaat niet omdat wortels alleen bestaan van positieve getallen. Bovendien krijgen we bij een even exponent een positieve uitkomst, bij een oneven exponent een negatieve uitkomst, bijvoorbeeld:

-1² = 1

-1³ = -1

-1⁴ = 1

-1⁵ = -1

enz.

Algemeen:

We gaan dus steeds uit van grondtallen met de volgende eigenschappen:

In de uitdrukking 32 is p Î Å

a Î Å⁺\{1}

a positief reëel getal

a ¹ 0

a ¹ 1

II.7� Hogere machts wortels

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat we de funktie wortel op drie manieren kunnen schrijven:

33

In plaats van wortel spreekt men ook van tweede machts wortels ( of vierkantswortels), het cijfer wee wordt dan in het wortelteken geplaatst. Indien er niets geplaatst wordt , is altijd de tweede machtswortel bedoeld. We herinneren nog eens aan de afspraak die gemaakt is bij de invoering van wortels:

34

in die zin is wortel trekken het omgekeerde van kwadrateren.(zie hoofdstuk IV).

In plaats van tweedemachtswortels kennen we ook derdemachtswortels, vierde machts wortels, enzovoorts.

35

Het is bij een oneven machtswortel mogelijk dat x negatief is; dan geldt tevens dat y negatief is.

II.8�a� derde machtswortel

Er geldt bijvoorbeeld:

2 × 2 × 2 = 8 dus ³Ö8 = 2

-2 × -2 × -2 = -8 dus ³Ö-8 = -2

Op de grafiek van de funktie y = ³Öx liggen de punten

( 2 , 8 ) en ( -2 , -8 ).

In het algemeen geldt:

als het punt P (x_p,y_p)ligt op de grafiek van de funktie

y = ³Öx

dan ligt ook het punt met koordinaten (-x_p, -y_p) op de grafiek van y = ³Öx

Deze eigenschap zien we in de grafiek van de

Afbeelding 1 y=³Öx

funktie y = ³Öx terug :

Afbeelding 2 y=³Öx y=x³ en de symmetrie-as y=x

de grafiek van de derdemachtswortel is puntsymmetrich ten opzichte van de oorsprong O(0,0)

In bovenstaande afbeelding is getekend de grafiek van de funkties:

36

We kunnen de grafiek van deze eerstgenoemde

funktie verkrijgen door de grafiek van de funktie y = x³

te spiegelen ten opzichte van de lijn:

y = x

(Dit komt overeen met het verwisselen van x en y in de vergelijking).

II.8�c� Vierde machtswortel

Voor de vierde machts wortel geldt:

37

hier moeten we net als bij de tweede machtswortel de toevoeging maken dat y en x positief moeten zijn.

Afbeelding 3 y = x⁴ y = ⁴Öx en de symmetrie-as y=x

Beschouw bijvoorbeeld:

2 × 2 × 2 × 2 = 16 dus ⁴Ö16 = 2

-2 × -2 × -2 × -2 = 16 dus ⁴Ö16 = -2

afgesproken is dat deze laatste oplossing niet meedoet. zodat alleen geldt:

⁴Ö16 = 2

Zodoende kunnen we ook spreken over de funktie

y = ⁴Öx

De algemene regel voor n-de machtswortels luidt met n Î Á :

ⁿÖa = b waar bij n ÎN en n even betekent

bepaal b zodat geldt bⁿ = a en b _ 0

ⁿÖa = b waar bij n ÎN en n oneven betekent

bepaal b zodat geldt bⁿ = a

We verkrijgen een grafiek van y=⁴Öx door de halve grafiek van y=x⁴ te spiegelen ten opzichte van de lijn y=x. Indien we de andere helft ook spiegelen ten opzichte van de lijn y=x dan krijgen we de grafiek van y= ^{- 4}Öx

II.9� VRAGEN

1 herleid:

38=

(2²)^½=

39=

40=

41=

42=

2 Bereken:

a 2⁵ + 3 ⁵ =

b 3 × 2 ⁵ - 2 ⁴ =

3 Vereenvoudig :

10³ ×10^-29

43

44

45

46

4 Teken in een figuur de grafieken van de functies

a f(x) = Öx

b f(x) = ³Öx

c f(x) = ⁴Öx

d welke punten hebben de grafieken van a,b,c gemeenschappelijk?

5 Teken in een figuur de grafieken van de funkties

a f(x) = x²

b f(x) = x³

c f(x) = x⁴

d welke punten hebben de grafieken van a,b,c gemeenschappelijk?

6 vereenvoudig

47

48

49

50

7 Teken in een figuur de grafiek van de funkties f(x) = x⁵ en g(x)=⁵Öx

8 Teken in een figuur de grafiek van de funkties f(x) = x⁶ en g(x)=⁶Öx

II.11� Rekenmachine en K-toets

Voorbeeld 1

Stel je hebt een bankrekening met ¦ 1000 ,- er op tegen een rente van 8 % per jaar erbij.

We willen nu met de rekenmachine berekenen hoe het kapitaal groeit met de loop van de jaren.

We merken eerst op dat een rente van 8% ( dit heet samengestelde interest) betekent dat na ieder jaar 8/100 van het bedrag van het jaar ervoor wordt opgeteld bij dat bedrag: dit komt erop neer dat dat bedrag wordt vermenigvuldigd met 1,08.

II.12�a� Afleiding

Als het Kapitaal na t jaar gegeven is door : K_t

dan is een jaar later het kapitaal : K_t+1

We kunnen K_t+1 als volgt berekenen:

we nemen 8% van het bedrag K_t en tellen daar het bedrag K_t bij op:

K_t+1 = 0,08 . K_t + K_t

Hieruit volgt:

K_t+1 = (0,08 + 1 ) K_t = 1,08 . K_t

Hetgeen neerkomt op een jaarlijkse vermenigvuldiging met 1,08. Dit heet: de groeifaktor is

n 1,08ⁿ

1 1,08

2 1,1664

3 1,25971

4 1,36049

5 1,46933

6 1,58687

7 1,71382

8 1,85093

9 1,99901

10 2,15893

11 2,33164

12 2,51817

13 2,71962

14 2,93719

15 3,17217

16 3,42594

17 3,70002

18 3,99602

19 4,3157

20 4,66096

XV

1,08.

Algemeen geldt:

rentepercentage p% per jaar = vermenigvuldigen met 1 + p/100 ieder jaar = groeifaktor 1+ p/100

Op de rekenmachine is het meestal mogelijk om vermenigvuldiging met een vast getal in te voeren met behulp van de zogenaamde K-toets:

Toets

1,08

1

´

2

K

3

Soms moet dit ingesteld worden door in te voeren:

1,08

4

´

5

´

6

en verschijnt er een K in

het display

De hiernaast afgebeelde tabel is verkregen door in te toetsen:

1,08

7

´

8

´

9

1

10

=

11

K

1,08

12

en vervolgens te tellen hoe vaak er op gedrukt is.

=

13

We zijn nu klaar om een tabel te produceren met de rekenmachine van de bedragen die ontstaan als we een startkapitaal van ¦ 1000 ,- wegzetten tegen een jaarlijkse rente van 8 %

Aannemende dat in het display een K te zien is omdat we de rekenmachine hebben ingesteld op vermenigvuldigen met de vaste faktor 1,08

TOETS

1000

14

=

15

er verschijnt:

1080

16

=

17

1166,4

18

=

19

1259,712

20

enzovoort

We kunnen nu door te tellen hoeveel maal we op de = toets drukken de volgende tabel maken voor het kapitaal als funktie van het aantal jaar.

0	1000
1	1080
2	1166,4
3	1259,7

Om de tabel te vervolgen volstaat het op de toets te drukken.

=

21

We komen op deze funktie terug bij exponentiële functies in de volgende paragraaf. Kenmerkend voor deze funkties is :als we 1 optellen bij de inputvariabele, dan moeten we de outputvariabele vermenigvuldigen met een konstant getal: de groeifaktor . Men spreekt van exponentiële groei: een gegeven beginhoeveelheid wordt telkens als we 1 [eenheid van tijd] verder zijn met een groeifaktor g vermenigvuldigd .(voorbeeld 1)

Daarnaast kennen we ook lineaire groei: als we 1 optellen bij de inputvariabele, dan moeten we een konstant getal optellen bij de outputvariabele. Bij een gegeven beginhoeveelheid moeten we telkens als we 1 [eenheid van tijd] verder zijn een konstant getal optellen. Zie ook hoofdstuk II, lineaire funkties en voorbeeld 2.

Voorbeeld 2

De K-toets kan ook gebruikt worden voor het herhaald optellen .

Stel een taxi rekent de volgende prijzen voor een rit:

voorrijkosten ¦ 10,00

gulden/kilometer ¦ 0,88

Als we een ritje met zo'n taxi maken kunnen we voor de eerste kilometers gemakkelijk berekenen hoeveel de eindrekening zal bedragen

TOETS:

.88

22

+

23

+

24

in het display zien we :

K

0,88

25

K

10.88

26

toets vervolgens:

10

27

=

28

K

11.76

29

=

30

K

12.64

31

=

32

enzovoort.

Door bij te houden hoeveel maal we op gedrukt hebben maken we volgende tabel:

=

33

0	10
1	10.88
2	11.76
3	12.64
4	13.52
5	14.4

Er zijn rekenmachines te koop die beschikken over veel uitgebreidere mogelijkheden berekeningen te herhalen.

Het is ook mogelijk om herhaald een verschil te berekenen of herhaaldelijk te delen, ga dit zelf na.

-

34

herhaald verschil.

-

35

¸

36

herhaald delen.

¸

37

II.13� Getalstelsels

II.14�a� Breuken, het decimale positiestelsel

We zijn gewend aan het feit dat een getal op verschillende manieren genoteerd kan worden.

Zo kunnen we bijvoorbeeld schrijven:

51

voor sommige getallen krijgen we

52

om aan te geven dat er eindeloos veel 3 staan noteert men dit getal als 0,33

Men spreekt in dit voorbeeld van breuken notatie en van het decimale positiestelsel. Het feit dat sommige getallen, zoals een derde, alleen als repeterende breuk te schrijven zijn kan men beschouwen als een nadeel. Daar staan andere voordelen tegenover, zodat dit in Europa de standaard notatie is van getallen. In sommige gebieden komen we toch ook nog veel breukennotatie tegen (bijvoorbeeld wielmaten, bouten en moeren, veelal wanneer het engelse maten zijn).

Er is nog een getalnotatie: de wetenschappelijke notatie.

II.14�c� De wetenschappelijke getalnotatie

Soms krijgen we te maken met getallen die erg groot of erg klein zijn. Bijvoorbeeld :

licht heeft een snelheid :

c = 300 000 000 [meter/sekonde]

Of:

de elektrische lading van een elektron bedraagt:

q = 0,000 000 000 000 000 000 16 [Coulomb]

In plaats hiervan gebruiken we liever de wetenschappelijke getalnotatie:

schrijf ieder getal in de vorm

53

54

met a Î Å en p Î Í

In bovenstaande voorbeelden krijgen we dan:

c = 3 × 10⁸ [m/s]

q = 1,6 × 10 ^-19 [C]

Het eerste getal a ligt altijd tussen 1 en 10. Dit getal moet vermenigvuldigd worden met een macht van 10: in het eerste voorbeeld met 10⁸ , zodat er 8 nullen achter het getal komen (de komma schuift 8 plaatsen naar rechts). In het tweede voorbeeld vermenigvuldigen we met 10 ^-19 zodat er 19 nullen voor het getal komen (de komma schuift 19 plaatsen naar links).

De rekenmachine gaat vanzelf over op de wetenschappelijke getalnotatie indien het display te klein wordt voor de gewone decimale notatie. Bereken bijvoorbeeld:

2³⁰ op de rekenmachine

2

38

x^y

39

30

40

=

41

1.07374 ⁰⁹

42

het antwoord is dus 1,07374 . 10⁹

Indien we een getal willen invoeren in de wetenschappelijke notatie, gebruiken we de toets:

EXP

43

of op sommige rekenmachines:

EE

44

Toetsen we bijvoorbeeld

4.3

45

EXP

46

6

47

dan verschijnt in het display:

4.3 ⁰⁶

48

we hebben dan ingevoerd 4,3 miljoen.

Om negatieve exponenten in te voeren gebruiken we de toets:

±

49

4

50

EXP

51

6

52

±

53

in het display verschijnt:

4. ^-06

54

we hebben ingevoerd 4 miljoenste.

II.15� OPGAVEN

1 Los op met behulp van de K toets op de rekenmachine:

Voor welke n Î N geldt:

a 1,07ⁿ > 2

b 2ⁿ > 10⁶

c ½ ⁿ < 0,001

d 0,9 ⁿ < 0,3

2 Gegeven de formule :

c = f λ

met c = 3 . 10⁸ [m/s]

en λ = 3 . 10^-10 [m]

a bereken f

b welke eenheid heeft f?

3 Bereken (met de rekenmachine)

a (2,2. 10¹⁵ )x(3,7.10⁸)

b (1,9.10¹⁴) x (7,25.10^-12)

c 2,28 . 10⁶ x 4,15 . 10 ⁴ x 1,7 . 10^-3

d 6,78364 . 10^-17 x 1,05467 . 10⁵ : (1,987 . 10^-7)

II.17� De exponentiële funktie

Afbeelding 4 grafiek van f(x) = 2^x

In §1 zijn de rekenregels voor exponenten behandeld

Nu kunnen we de exponentiële funktie gaan bestuderen.

Als voorbeeld nemen we de exponentiële funktie met grondtal 2.

f(x) = 2 Fout! Bladwijzer niet gedefinieerd.x

f(0) = 1
f(1) = 2	f(-1) = 0,5
f(2) = 4	f(-2) = 0,25
f(3) = 8	f(-3) = 0,125
f(4) = 16	f(-4) = 0,0625
f(5) = 32	f(-5) = 0,03125

D_f = Å

alle reële getallen kunnen dienen als input voor de funktie.

Voor de output y (y = f(x)) geldt steeds:

y > 0

De funktie f is dus altijd positief; er zijn dus geen nulpunten en het bereik is de verzameling van positieve reële getallen:

B_f = Å⁺.

Indien we voor x een steeds groter negatief getal invullen in de funktie dan komt de waarde van y steeds dichter bij y = 0 te liggen. De waarde y = 0 wordt echter nooit bereikt. We konkluderen dat de lijn

y=0 (dat is de x-as)

een horizontale asymptoot is van de funktie (voor zeer grote negatieve waarden van x).

II.19� VRAGEN

1a Teken de grafiek van

f(x) = 2Fout! Bladwijzer niet gedefinieerd.-xFout! Bladwijzer niet gedefinieerd.

op het interval D_f = [-5,5]

b geef de vergelijking van de asymptoot van f

c hoe kunnen we de grafiek van f verkrijgen uit de grafiek van

y = 2^x

2 Lees onderstaande beweringen goed door:

I De funktie f(x) = -2^x is altijd negatief

II De asymptoot van de funktie f(x) = -2^x is de lijn y = 0 (de x-as)

abeide beweringen zijn juist

b alleen bewering I is juist

calleen bewering II is juist

d beide beweringen zijn onjuist

3 Lees onderstaande beweringen goed door:

I De funktie f(x) = 2^x heeft als eigenschap dat f(p+q)=f(p).f(q) voor ieder getal p, q Î Å.

II De funktie f(x) = 2^x heeft geen nulpunten

abeide beweringen zijn juist

b alleen bewering I is juist

calleen bewering II is juist

d beide beweringen zijn onjuist

II.21� De exponentiële funktie bij verschillende waarden van het grondtal.

In de vorige paragraaf hebben we de grafiek van de funktie

y = 2^x

bestudeerd. We gaan nu onderzoeken wat de grafiek wordt van de exponentiële funktie

55

voor verschillende waarden van het grondtal g.

Opdracht: neem bijvoorbeeld g = -2 en ga na wat er gebeurt als we een negatief grondtal kiezen.

Eerste afspraak is dus dat we alleen werken met positieve grondtallen.

Opdracht : neem ook g = 0 . Ga na wat de funktie f dan is

Opdracht : neem ook g = 1 . Ga na wat de funktie f dan is

We maken dus de afspraak:

g > 0 en g ¹ 1

Afbeelding 5 f(x)=2^x h(x)=3^x

Immers voor negatieve waarden van g is de funktie negatief of positief al naar gelang de inputwaarde x even of oneven is, en voor g = 0 en g = 1 krijgen we als grafiek de horizontale lijnen y = 0 respectievelijk y = 1.

We gaan nu eerst bekijken :

g > 1

Voor g =2 is de grafiek al getekend in de vorige paragraaf.

In bovenstaande figuur zijn getekend de grafieken van

f(x) = 2^x

en h(x) = 3^x

tabel f(x)=2^x

x y

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

XIX

tabel g = 3^x

x y

-3 1/27

-2 1/9

-1 1/3

0 1

1 3

2 9

3 27

XX

Voor beide functies geldt :

Domein = Å

funktie overal stijgend

bereik is positieve reële getallen Å⁺

x-as (y=0) asymptoot voor grote negatieve getallen x

funktie gaat door punt (0,1)

Deze eigenschappen gelden voor alle grondtallen g > 1

We zien ook dat:

3^x > 2^x indien x > 0

3^x < 2^x indien x < 0

3^x = 2^x = 1 indien x=0

Voor grondtallen g met 0 < g < 1

gelden enigszins andere eigenschappen. In onderstaande afbeelding is als voorbeeld getekend de grafieken van de funkties

f(x) = (½)^x en h(x) = (_)^x

Voor beide functies geldt

Domein = Å

funktie overal dalend

bereik is positieve reële getallen

x-as (y=0) asymptoot voor grote positieve getallen x

funktie gaat door punt (0,1)

Afbeelding 6 f(x)=(½)^x h(x)=(_)^x

Deze eigenschappen gelden voor alle grondtallen 0 < g < 1

We zien ook dat

(1/3)^x < (1/2)^x indien x > 0

(1/3)^x > (1/2)^x indien x < 0

3^x = 2^x = 1 indien x=0

Tabel f

x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

XXI

tabel h

x y

-3 27

-2 9

-1 3

0 1

1 1/3

2 1/9

3 1/27

XXII

Indien we ook de funktie

f(x) = g^-x

gebruiken kunnen we volstaan met de afspraak dat we uitsluitend werken met grondtallen g > 1.

Voor bijvoorbeeld de funktie

f(x) = (1/2)^x kunnen we namelijk ook schrijven

f(x) = (1/2)^x=1^x/2^x=1/2^x=2^-x

Op deze wijze kunnen alle funkties waarin grondtallen g met 0<g<1 voorkomen herschreven worden in funkties met een grondtal groter dan 1 maar dan met een negatieve exponent.

II.23� Exponentiële vergelijkingen

Uit de grafiek van de funktie

f(x) = g^x

volgt de volgende regel:

g^a = g^b Û a=b

(ga dit na).Deze regel hebben we nodig als we een exponentiële vergelijking oplossen zoals:

2^x = 8.

Oplossing:

2^x = 8 = 2³ dus x = 3.

Exponentiële funkties komen in de praktijk veel voor.

In de volgende paragraaf geven we drie voorbeelden:

-groei van een bacteriecultuur

-afname van radioactiviteit

-kapitaalgroei

N.B.:Ook voor exponentiële vergelijkingen van grootheden waarin eenheden voorkomen geldt dat de eenheden links en rechts van het = teken gelijk moeten zijn. Een exponent heeft geen eenheid; in een uitdrukking zoals

y = 2^t waarin t de tijd voorstelt is dus een schaling verwerkt zodanig dat de eenheid van tijd wegvalt. Indien bijvoorbeeld de tijd in uren gegeven wordt, is gedeeld door de eenheid uur zodat alleen een getal zonder eenheid over blijft.

II.25� Toepassingen

Voorbeeld 3

In een bepaald voedingsmiddel zitten bacteriën. Onder gunstige omstandigheden blijkt het aantal bacteriën zich ieder half uur te verdubbelen. Stel dat er op tijdstip t = 0 1000 bacteriën aanwezig zijn.

Geef het funktievoorschrift voor het aantal bacteriën N als funktie van de tijd, en bepaal de groeifaktor.

Oplossing

ga na:

t N

[halve uren]aantal bacteriën

t=0 N=1000

t=1 N=2000

t=2 N=4000

t=3 N=8000

t willekeurig [halve uren]: N(t) = 1000 . 2^T

De groeifaktor [per halfuur] is dus 2:

t=0 N=1000

+1´2

t=1 N=2000

+1´2

t=2 N=4000

+1´2

t=3 N=8000

In het algemeen geldt voor het aantal N bij exponentiële groei:

N(t) = N(0) . g^t

Men spreekt in dit verband ook van N₀ = N(0) als de beginhoeveelheid en g als de groeifaktor. Bedenk dat de groeifaktor afhangt van de gekozen eenheid van tijd: verdubbeling per halfuur is verviervoudiging per uur, als we de eenheid van tijd uren nemen dan is dus de groeifaktor g = 4.

Voorbeeld 4

Een radioaktief preparaat bevat radioaktief Natrium dat vervalt tot Magnesium.

56

Het radioaktieve isotoop 57 heeft 11 protonen en 13 neutronen in de atoomkern. Onder uitzending van een elektron en γ-straling ontstaat 58 bestaande uit 12 protonen en 12 neutronen.

Het aantal aanwezige natriumatomen is een exponentiële funktie van de tijd. Het aantal aanwezige atomen van het Natriumisotoop neemt af; we hebben dus een dalende exponentiële funktie. Het grondtal g is dus kleiner dan een.

Na zekere tijd (genaamd de halfwaardetijd) is nog maar de helft over van de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid van het Natriumisotoop.

Voor de halfwaardetijd gebruiken we meestal τ (tau = de griekse letter t)

In dit voorbeeld geldt:

τ = 14,8 uur

Het funktie voorschrift van het aanwezige aantal Natriumatomen luidt:

N(t) =N(0).2^-t/14,8

Opdracht: Ga na met behulp van dit funktievoorschrift dat na een tijd t = 14,8 inderdaad de helft van de in het begin aanwezige hoeveelheid Natriumatomen over is.

Ga ook na hoeveel er nog over is na een tijd die twee maal de halveringstijd is:

t = 29,6 uur

Ga ook na dat we kunnen spreken van een exponentiële funktie met groeifaktor 0,5 per eenheid van tijd = 14,8 uur.

Wat is de asymptoot van deze funktie? geef een verklaring.

Voorbeeld 5

Een bank rekent rente van 8% per jaar

Stel je zet een startkapitaal K₀ van ¦1000,- op de bank

Na een jaar heb je dan :

K₁ = 0,08.1000 + 1000 = (0,08+1).1000 = 1,08.1000 = ¦1080,-

Na 2 jaar heb je

K₂ = 0,08.1080 + 1080 = (0,08+1).1080 = 1,08.1080 = 1,08.1,08.1000 = 1,08² . 1000 = ¦ 1166,40

Na 3 jaar:

K₃ = 1,08³ . 1000 = ¦ 1259,71

Na n jaar , n Î N

K_n = 1,08ⁿ . 1000

Beginhoeveelheid K₀ = 1000.

Groeifaktor g = 1,08 [per jaar]

Na tien jaar is het kapitaal van 1000 gulden al meer dan verdubbeld, na 15 jaar al meer dan verdrievoudigd.Na 30 jaar is het bedrag van 1000 gulden meer dan vertienvoudigd :

K₃₀ = ¦ 10626,57

De banken hanteren dan ook bepalingen die het onmogelijk maken om geld gedurende zeer lange tijd vast te zetten.

Algemeen:

p% rente betekent grondtal 59

zie voorbeeld 1

Opdracht: Bereken de groeifaktor per dag, per week en per maand voor dit voorbeeld.

Afbeelding 7 stroomsnelheid = exponentieel dalend

bedenk dat bijvoorbeeld voor g per maand geldt: g¹² = 1,08

Voorbeeld 6

Twee open vaten staan met elkaar in verbinding via een open buis die afgesloten wordt met een kraan. Wordt de kraan open gedraaid dan stroomt het water eerst snel naar het andere vat, geleidelijk langzamer omdat het drukverschil tussen de vaten kleiner wordt.

Meet men de stroomsnelheid van het water bij de kraan, dan is dit bij een exponentieel dalende funktie van de tijd.(vergelijk voorbeeld 7)

Voorbeeld 7

Een schakelaar sluit een RC-kring (Weerstand Condensator). De stroomsterkte I in Ampère is een exponentieel dalende funktie van de tijd.

Hiervoor geldt de formule

60

waarbij R en C de waarden van de kondensator en de weerstand voorstellen. In dit kader spreekt men van de RC-tijd.

Afbeelding 8 RC tijd

Exponentiële funkties komen in de praktijk zeer veel voor. Een belangrijk kenmerk van een exponentiële funktie is het volgende: bij de exponentiële funktie is de toename evenredig met de reeds aanwezige hoeveelheid. Dit geldt ook indien we een afname ( = negatieve toename) hebben.

Ga dit principe na voor de voorbeelden die gegeven zijn in dit hoofdstuk van exponentiële funkties.

II.27� SAMENVATTING

61

62

63

64

65

66

67

68

gelden voor:

a > 0 , b > 0 , a Î Å⁺ , b Î Å⁺ , p Î Å , q Î Å

-Öx =²Öx = x^{½ 3}Öx = x^{_ 4}Öx = x^¼

- y = Öx Û y² = x en y ³ 0

y = ³Öx Û y³ = x

y = ⁴Öx Û y⁴ = x en y ³ 0

y = ⁵Öx Û y⁵ = x

y = ⁶Öx Û y⁶ = x en y ³ 0 enzovoort

-wetenschappelijke getalnotatie

Iedere getal x Î Å is te schrijven als

x = a × 10^p waarbij a Î Å zodanig dat

1 £ a < 10 en p Î Í

dus bijvoorbeeld 345,67=3,4567 . 10²

0,023 = 2,3 . 10^-2

-De exponentiële funktie f(x) = 2^x heeft domein D_f = Å

Bereik B_f = Å⁺ is overal stijgend en heeft als asymptoot de x-as (voor negatieve grote waarden x)

-De exponentiële funktie f(x) = 2^-x (is ook f(x)=½^x )heeft domein D_f = Å ,Bereik B_f = Å⁺ , is overal dalend en heeft als asymptoot de x-as (voor positieve grote waarden x)

- g^x = g^A Û x = A

dus bijvoorbeeld 3^x = 3⁴ Û x = 4

- exponenten bevatten geen eenheden

II.29� OPGAVEN

1Karel zet ¦ 5000,- op de bank tegen een rente van 7%.

a Bereken hoeveel geld Karel heeft na 1 jaar, 2 jaar, 3 jaar , 5 jaar 10 jaar en 20 jaar

b Na een half jaar haalt Karel zijn geld van de bank. Hoeveel rente krijgt hij over dit halve jaar?

c Wat is de rente per dag als de rente per jaar 7% is?

2 Een bakteriesoort heeft als eigenschap dat de populatie ieder half uur verdubbelt. In een salade bevinden zich om 12 uur 's middags 100 bacteriën.

a Geef een formule voor het aantal aanwezige bacteriën als funktie van de tijd (in halve uren).

b Hoeveel bacteriën waren er aanwezig om 3 uur 's middags?

c Hoeveel bacteriën waren er aanwezig om 6 uur 's avonds ?

d De keuringsdienst van waren keurt de salade af als er zich meer dan 50000 bacteriën in de salade bevinden. Om 7 uur kontroleert men de salade. Wordt deze afgekeurd voor konsumptie?

e Ga ook na wanneer er zich één bakterie in de salade heeft bevonden.

3 Teken de grafiek van de funktie

f(x) = 4.3^x

op het interval [-3,3]

Teken in dezelfde figuur ook de grafiek van de funktie

g(x) = 3^x

4 Teken de grafiek van de funktie

f(x) = 3.2^-x

op het interval [-3,3]

Teken in dezelfde figuur ook de grafiek van de funktie

g(x) = 2^-x

5 De halveringstijd van ¹⁴C koolstof 14 is 5730 jaar

Men stelt vast dat een gesteente nog maar 12,5% van de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid ¹⁴C bevat. Hoe oud is dit gesteente?

De maximale ouderdom die met de ¹⁴C methode bepaald kan worden is 50000 jaar. Hoeveel van de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid ¹⁴C is dan nog aanwezig?

Geef een funktievoorschrift voor de aanwezige hoeveelheid koolstof 14 als funktie van de tijd; noem hierin de beginhoeveelheid N₀.

6 Een Zeppelin bevat 5000 m³ draaggas. Hiervan lekt 1% per week weg.

Geef het funktievoorschrift van de aanwezige hoeveelheid draaggas als funktie van de tijd (per week)

De Zeppelin kan niet meer vliegen als er nog maar 4000 m³ draaggas aanwezig is. Bepaal (met de K-toets van de rekenmachine) na hoeveel weken de zeppelin niet meer kan vliegen.

nb in het volgende hoofdstuk zullen we laten zien hoe je het antwoord exact kunt bepalen met behulp van logaritmes.

7 Teken de grafiek van de volgende functies. Geef steeds :

het Domein het Bereik

eventuele snijpunten met de x of y-as eventuele asymptoten.

f(x) = 2^x -3

g(x) = 2^-x-5

h(x) = 3^-x + 1

j(x) = 10^(x+10)

k(x) = -2^x

l(x) = -2^-x

m(x) = -3^-(x+4)

8 Schrijf de exponentiële functies zo dat het grondtal > 1

f(x) = (¼)^x

g(x) = (_)^x

h(x) = (_)^x

j(x) = 0,3^x

k(x) = 69

9 Welke bewering is juist?

I Als x < 0 dan is 3^x < 4^x

II Als x > 0 dan is 3^x > 4^x

aI. en II. zijn beide juist

bAlleen I. is juist

cAlleen II. is juist

dI. en II. zijn beide onjuist

10 Los op:

2^x = 16

3^x = 27

4^x = 64

5^x = 25

11 Een geld bedrag van ¦ 10000,- wordt geleend tegen 5% rente.

Het geleende bedrag moet inklusief rente in een maal terug betaald worden.

a Hoeveel moet er terugbetaald worden na één jaar?

b Hoeveel moet er terugbetaald worden na vijf jaar?

c Hoeveel moet er terugbetaald worden na n jaar, n ÎÁ?

12 Radioaktief isotoop A vervalt in element B met een halfwaarde tijd van 10 jaar. Er is een beginhoeveelheid A₀ aanwezig :

A₀ = 0,1 kg

Schrijf een funktievoorschrift op voor de massa van A als funktie van de tijd t

Maak een tabel van A(t) voor t Î {10, 20, ... , 100 }

Teken een grafiek van A(t) . zet eenheden langs de assen.

13 Een bacteriecultuur groeit exponentieel. Op t = 0 zijn er N=10000 bacteriën aanwezig. Op t=10 [uur] zijn er N=100 000 bacteriën aanwezig.

Geef het funktievoorschrift N(t)

14 Lees onderstaande beweringen goed door:

I70 II 71

aI. en II. zijn beide juist

bAlleen I. is juist

cAlleen II. is juist

dI. en II. zijn beide onjuist

15 Lees onderstaande beweringen goed door:

I 72

II 73

aI. en II. zijn beide juist

bAlleen I. is juist

cAlleen II. is juist

dI. en II. zijn beide onjuist

Afbeelding 9 bepaal het funktievoorschrift...

16bepaal het funktievoorschrift:

10 bepaal het funktievoorschrift.