Complexe getallen, deel 1:

In deze tekst gaan we onze vertrouwde verzameling van de reële getallen uitbreiden tot een grotere verzameling van getallen die we complexe getallen noemen.

Er bestaan vele teksten waarin de complexe getallen worden geïntroduceerd. Dit is mijn versie. Ik heb geprobeerd het verhaal zo volledig mogelijk te maken. Omdat het scrollen van de grote pagina wat traag verliep, heb ik het stuk in tweeën gesplitst.

Inleiding

Vroeger, toen we op de lagere school zaten, leerden we hoe we moesten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. We kregen sommetjes als 2 + 6 = ... en 25 : 5 = ... voorgeschoteld. We maakten toen in feite kennis met de natuurlijke getallen, dus met de verzameling , al werd dat toen nog niet in die bewoordingen gezegd. Ieder tweetal getallen in kan zonder problemen worden opgeteld of vermenigvuldigd; het resultaat zit weer in . We hebben inmiddels ervaren dat dat niet voor aftrekken geldt: we kunnen 3 - 7 niet uitvoeren als we in werken, of beter gezegd, de vergelijking x + 7 = 3 heeft geen oplossing in . Dit wordt opgelost door een nieuw soort getallen in te voeren: de negatieve getallen en daarnaast het getal 0. De verzameling wordt uitgebreid tot de verzameling der gehele getallen . Deze verzameling is gesloten onder optelling, aftrekking en vermenigvuldiging. Maar als we gehele getallen gaan delen ontstaan weer problemen: 3x = 12 is oplosbaar in (zelfs in ), maar 12x = 3 niet. Wederom is de oplossing dat we nieuwe getallen invoeren: de breuken. wordt met deze getallen uitgebreid tot , de verzameling van de rationale getallen. Het lijkt nu dat we de hele "getallenlijn" opgevuld hebben. Toch is dit niet het geval. De vergelijking x² = 2 bijvoorbeeld, heeft geen oplossing die als een breuk geschreven kan worden (zie ook " is irrationaal" op de pagina getalverzamelingen). We zullen weer de getallenverzameling moeten uitbreiden en wel met de irrationale getallen (waaronder ook , en e). Na al deze uitbreidingen krijgen we uiteindelijk de verzameling van de reële getallen: . Met deze getallen hebben we tot dusver gewerkt.

Helaas is ook niet groot genoeg om voor elke vergelijking een oplossing te bevatten: de vergelijking x² = -2 heeft nog steeds geen oplossing. De vraag rijst: kunnen we uitbreiden tot een nog grotere verzameling zodat we ook aan dit soort vergelijkingen een oplossing kunnen toekennen? En zo ja, heeft dat nut? Het antwoord is in beide gevallen bevestigend, maar de motivatie van het tweede antwoord laat nog even op zich wachten. Eerst laten we zien hoe we kunnen uitbreiden tot , de verzameling van de complexe getallen.

Het complexe vlak

wordt vaak voorgesteld door een lijn, de reële rechte. Ieder getal op deze lijn komt voor in . Dat betekent: hoe we ook gaan uitbreiden, we kunnen de nieuwe verzameling niet voorstellen door een lijn. We doen daarom het volgende. We maken een assenstelsel van twee getallenlijnen, en krijgen aldus een vlak, waarmee we ook wel voorstellen, zie figuur 1. We zouden een punt in dit vlak kunnen vastleggen door zijn coördinaten a en b, en noteren (a, b), net zoals we dat met een vector in zouden doen. We doen het echter anders. We voeren een nieuw symbool i in, die per afspraak voldoet aan de vergelijking i² = -1. Het idee is nu dat we de punten op de horizontale as als de "oude" reële getallen gaan beschouwen, en alle punten daarbuiten als "nieuwe" getallen, waarbij i een rol gaat spelen. Een punt b op de verticale as noteren we vanaf nu als bi, dus als het "product" van b en i (met de afspraak dat 0i ook als 0 geschreven mag worden). En een punt in het vlak, vastgelegd door de coördinaten a en bi, noteren we als a + bi, dus als de "som" van a en bi, zie figuur 2. Merk op dat deze notaties (nog) niets te maken hebben met vermenigvuldiging en optelling, zoals we die voor reële getallen kennen! Wel zullen we zien dat deze notaties heel handig gekozen zijn.

Het vlak dat we nu geconstrueerd hebben noemen we het complexe vlak of ook het Gauss-vlak, naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss. De punten in dit vlak noemen we complexe getallen en de verzameling {a + bi  |  a,b } van alle complexe getallen noteren we met .

figuur1 figuur 2

We noemen de horizontale as in het complexe vlak voortaan de reële as en de verticale de imaginaire as. Omdat i zelf op de imaginaire as ligt, en wel op een soortgelijke plaats als 1 op de reële as, noemen we i ook wel de imaginaire eenheid. We gebruiken vaak de letters z, w, , ,... voor complexe getallen en x, y, a, b, ... voor reële getallen.  Als een complex getal z wordt vastgelegd door de formule a + bi, voor zekere a,b , dan schrijven we z = a + bi. Van een complex getal z = a + bi noemen we a het reële deel (notatie a = Re z of z) en b het imaginaire deel (notatie b = Im z of z). Merk op dat een complex getal van de vorm z = a + 0i (voor het gemak genoteerd als z = a) reëel is. Een getal van de vorm z = 0 + bi (voor het gemak genoteerd als z = bi) zullen we zuiver imaginair noemen. Merk ook even op dat we zojuist een belangrijk verschil geconstateerd hebben tussen en . We hebben namelijk gezien dat , terwijl we weten dat niet !  Beide verzamelingen vertonen dus veel overeenkomsten, maar ze zijn niet hetzelfde!

Rekenen met complexe getallen

Twee complexe getallen z en w heten gelijk, notatie z = w, als Re z = Re w én Im z = Im w, zoals voor de hand ligt. Laten we nu twee willekeurige complexe getallen a + bi en c + di nemen, dan definieren we als volgt de rekenkundige operaties op :

1. Som: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2. Verschil: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

3. Product: (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Maar in alle drie de gevallen is dit precies wat je zou krijgen als je in de notatie z = a + bi de bi als een "echt" product beschouwt en de a + bi als een "echte" som! Zolang je in de gaten houdt dat i² = -1, is dit eenvoudig na te rekenen. Deze definities zijn dus niet zo moeilijk te onthouden. We merken ook nog op dat allerlei rekenregels die je voor reële getallen gewend bent, ook weer gelden voor complexe getallen. We noemen er een paar (maar lang niet allemaal): laat z,w, willekeurig:

· z + w = w + z en zw = wz

· 0z = 0 en 1z = z

· (z + w) = z + w

Het eerste regeltje illustreert dat optelling in net zo gaat als vectoroptelling in , zie figuur 3, volgens een parallellogram.

figuur 3

Ook geldt voor a,b :

· a + (-b)i = a - bi

· a + bi = bi + a = a + ib

Deze regeltjes bevestigen nogmaals dat je bij het rekenen met complexe getallen gewoon mag doen alsof a + bi een echte som en een echt product bevat. We gaan hier verder niet in op de rekenregels; al deze regels zijn eenvoudig te bewijzen m.b.v. de definities. Wat we nog wel gaan doen (en nu ook kunnen doen) is definieren hoe we een deling van complexe getallen uitvoeren:

4. Quotiënt:  , voor c + di 0

Ga na dat ook deze definitie voor de hand ligt; gebruik daarbij wel een paar van de bovenstaande rekenregels.

Voorbeeld: (1 + i) / (1 - i) = [(1 + i) / (1 - i)] . [(1 + i) / (1 + i)] = 2i / 2 = i

Voorbeeld: i(2 + 3i) = 2i - 3 = -3 + 2i (dus 2 + 3i wordt over 90 graden gedraaid!) 

Ook voor de deling gelden er een paar standaard rekenregels, bijvoorbeeld: z,w, :

· zw =  z = /w w = /z (mits w en z  0)

· z/z = 1 mits z 0

· 1/i = -i (belangijk bij berekeningen)

Ook deze regels volgen eenvoudig uit de definities. Nu we de vier rekenkundige operaties hebben gedefinieerd en de belangrijke rekenregels hebben afgeleid, is het nuttig om op te merken dat we bij alle vier de bewerkingen de "oude" reële bewerking terugkrijgen wanneer we in de complexe bewerking reële getallen invullen. Zo geldt bijvoorbeeld dat (a + 0i) + (c + 0i) = (a + c) + (0 + 0)i = a + c. We kunnen nu daadwerkelijk zeggen dat ook qua rekenregels een uitbreiding is op .

Vervolgens definieren we machten van complexe getallen op analoge wijze als in het reële geval. Bijvoorbeeld: z² := zz. We kunnen nu een resultaat boeken:

Voorbeeld: De vergelijking z² = -2 heeft twee oplossingen in , te weten: z = -2 = (-1).() = i. Beide oplossingen liggen op de imaginaire as en zijn niet reëel.

Voor algemene kwadratische vergelijkingen van de vorm az² + bz + c = 0 met z complex en de coëffeciënten a,b en c reëel kan de abc-formule (die analoog aan het reële geval wordt bewezen) gebruikt worden. Hierbij worden complexe oplossingen verkregen ingeval de discriminant negatief is: z = -b / 2a i[(4ac - b²) / 2a]. Deze oplossingen zijn dus elkaars gespiegelde in de reële as!

Voorbeeld: Los op: z² - 6z + 11 = 0.

Methode 1: abc-formule! z = -(-6) / 2 [-8] / 2 = 3 i.

Methode 2: We kunnen ook kwadraat-afsplitsen: merk daartoe op dat (z - 3)² = z² - 6z + 9. Dus de vergelijking wordt: (z - 3)² - 9 + 11 = (z - 3)² + 2 = 0. Dus z - 3 = -2, waardoor z = 3 i.

Tot besluit van deel 1 nog een belangrijke stelling over polynomen van een hogere graad. We kunnen deze stelling niet bewijzen, maar vinden hem belangrijk genoeg om toch even te noemen:

Stelling: (Hoofdstelling van de Algebra): Iedere vergelijking van de vorm a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_nzⁿ = 0, voor n heeft een oplossing in .

Aangezien complexe getallen ooit ontstaan zijn uit de behoefte om elke polynoomvergelijking een oplossing te geven, mogen we deze stelling gerust als een hoogtepunt beschouwen.

Geconjugeerde, modulus en afstand

We definiëren nu drie belangrijke grootheden. Bij berekeningen met z = a + bi blijkt het getal a - bi zo vaak een rol te spelen dat deze een eigen notatie heeft gekregen: := a - bi, de complex toegevoegde of geconjugeerde of geadjungeerde van z (uitspraak: z-geconjugeerd). In het vlak is het dus de gespiegelde van z in de reële as, zie figuur 4. In het bijzonder zijn complexe oplossingen van een kwadratische vergelijking elkaars geconjugeerde.

figuur 4

Propositie: Er is voldaan aan de volgende regels:   z, w :

1. = +

2. =

3. z + = 2 Re z;   z - = 2i Im z;   en  z = z

4. z 0 en  z = 0 z = 0

5. = z

De modulus of lengte of voerstraal of norm of absolute waarde van z = a + bi is |z| := [a² + b²], ofwel de "afstand" van z tot de oorsprong in het complexe vlak (een reëel getal 0 dus), zie figuur 5. (Dit begrip is belangrijk, hetgeen het aantal synoniemen ervoor al doet vermoeden!) Voor het gemak zullen wij deze grootheid altijd 'modulus' noemen. Voor reële getallen is de modulus natuurlijk gewoon de absolute waarde zoals we die al kennen.

figuur 5

Propositie: Ook nu gelden een paar eenvoudig te bewijzen regels: z, w :

1. |zw| = |z||w|

2. |z + w|    |z| + |w|  en  ||z| - |w||    |z + w|   (Driehoeksongelijkheden)

3. |z|² = z

4. |z| = || = |-z|

5. |z| > 0 z 0 en in dat geval is 1/z = / |z|²

We maken nu het eerder genoemde begrip "afstand" precies: Voor z, w is de afstand tussen z en w gedefinieerd door |z - w|.

Stelling: We hebben dan z, w, :

1. |z - w| 0  en  |z - w| = 0 z = w

2. |z - w| = |w - z|

3. Stelling van Pythagoras: voor z = a + bi, w = c + di: |z - w| = [(a - c)² + (b - d)²]

4. Driehoeksongelijkheden: ||z - | - | - w||    |z - w|    |z - | + | - w|

De gedeelten 1, 2, en de tweede ongelijkheid van 3 in deze stelling laten zien dat |z - w| (inderdaad) voldoet aan de axioma's van een metriek (afstandsfunctie).

Poolcoördinaten en machten

We hebben tot nu toe een complex getal steeds vastgelegd door zijn (Cartesische) coördinaten a en b, en genoteerd a + bi. Er is echter nog een andere manier om een compex getal eenduidig vast te leggen: d.m.v. poolcoördinaten. We nemen van een compex getal z de modulus r := |z| en de hoek die het lijnstuk oorsprong-z maakt met de positieve reële as, zie figuur 6.

figuur 6

Voor een complex getal z = a + ib geldt dan: a = r cos , b = r sin . En omgekeerd: r = [a² + b²] , = arctan(b/a). Merk op: als voldoet aan deze formules, dan voldoet ook + 2n voor alle n .We kiezen bij voorkeur die voor de modulus, zodat - < (het komt ook wel eens voor dat de voorkeur uitgaat naar 0 < 2). We noemen de waarde van deze   de hoofdwaarde van het argument van z, of kortweg het argument van z, notatie arg z. Samenvattend: de waarden van r = |z| [0, ) en = arg z (-, ] bepalen eenduidig het complexe getal z. Er is nog wel een kleinigheidje: als z = 0, dan is r = 0, maar kan iedere waarde hebben! We zullen daarom het getal 0 niet in poolcoördinaten uitdrukken.

Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan r = en = /4. Als r = 2, = 5/6, dan z = - 3 + i.

We kunnen z nu schrijven als z = r(cos + i sin ), we noemen dit de modulus-argument schrijfwijze of polaire schrijfwijze. Met deze schrijfwijze krijgen product en quotiënt van complexe getallen een nieuwe interpretatie: zij z = r(cos + i sin ), w = s(cos + i sin ), dan:

• zw = r(cos + i sin )s(cos + i sin ) = rs(cos( + ) + i sin( + )) In woorden: de modulus wordt het product van de moduli; het argument wordt de som van de argumenten. Of ook: vermenigvuldiging van z met w betekent voor z een schaling met een factor s, en een draaiing over een hoek . En voor w natuurlijk iets soortgelijks.
• z/w = r(cos + i sin ) / s(cos + i sin ) = r/s (cos( - ) + i sin( - )) (s 0) De modulus wordt het quotiënt van de moduli; het argument wordt het verschil van de argumenten.

Uit de eerste vergelijking volgt met inductie:

Stelling: (Stelling van De Moivre): voor iedere k : z^k = r^k(cos(k) + i sin(k))

Het zijn mede deze eigenschappen die aanleiding geven de volgende notatie in te voeren: eⁱ := cos + i sin voor . Deze relatie heet de formule van Euler, naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler die deze notatie bedacht heeft. De gedachte achter deze formule is als volgt. We kennen de e-machtsfunctie op dit moment alleen voor reële getallen, en we zijn natuurlijk vrij om een functie met dezelfde naam te definiëren voor getallen op de imaginaire as. We zullen nu zien waarom Euler's definitie een goede keus is. Allereerst merken we op: omdat het punt 0 zowel in als op de imaginaire as voorkomt, eisen we dat e⁰ := eⁱ⁰ = 1; gelukkig is dat hier inderdaad het geval. Als we vervolgens de Taylorontwikkeling van de reële e-machtsfunctie nemen en i voor de variabele invullen, krijgen we:

eⁱ = 1 + i + (i)² / 2 + (i)³ / 3! + (i)⁴ / 4! + ...

Men kan (met wat meer theorie) bewijzen dat deze som bestaat en een limiet in heeft. Wanneer we ook eens kijken naar de Taylorontwikkelingen van de reële sinus en cosinus (met variabele ),

sin = - ³ / 3! + ⁵ / 5! - ...

cos = 1 - ² / 2! + ⁴ / 4! - ... ,

dan valt ons iets verrassends op: wanneer we namelijk de reeks van cos + i sin uitrekenen door term voor term op te tellen, krijgen we na enig uitwerken precies de reeks voor eⁱ. Dus is het niet zo gek om te stellen eⁱ = cos + i sin , ook al is het voorgaande wiskundig niet helemaal correct beargumenteerd.

We hebben nu een derde schrijfwijze voor complexe getallen gevonden: z = reⁱ, als r = |z| en = arg z. We noemen dit de exponentiële schrijfwijze. De regels ten aanzien van product en quotiënt van complexe getallen in poolcoördinaten reduceren nu tot:

• reⁱ seⁱ = rs e^{i( + )} en met De Moivre: (reⁱ)^k = r^ke^ik
• reⁱ / seⁱ = r/s e^{i( - )}.

En dit soort regels zijn gebruikelijk voor de "gewone" e-machtsfunctie. We zien nu nogmaals dat je met Euler's definitie van de imaginaire e-macht een functie krijgt die zich qua regels gedraagt zoals zijn reële tegenhanger.

De functie eⁱ voldoet verder nog aan de volgende kenmerkende eigenschappen:

• eⁱ is periodiek modulo 2, ofwel eⁱ = eⁱ⁽⁺²ⁿ⁾ voor alle n
• eⁱ²  = 1  en  eⁱ = -1 (ofwel eⁱ + 1 = 0, een beroemde relatie tussen de 5 belangrijkste getallen in de wiskunde!)

Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan z = e^i/4.

Tot slot hebben we nu de gelegenheid om een algemenere definitie van machten van een complex getal te geven: zij t en z = reⁱ, dan z^t := r^te^it.

Voorbeeld: Los op: z² = 4e^i/4. z = [4e^i/4] = 2e^i/8. Dus oplossingen: z = 2e^i/8 of z = 2e^-7i/8

Voorbeeld: Los op: z³ = i. Equivalent is: |z|³ = |z³| = |i| = 1 én 3 arg z = arg(z³) = arg i + 2k = /2 + 2k voor iedere k . Dus r = |z| = 1 en = arg z = /6 + 2k/3. Hiermee liggen de oplossingen vast! We vinden: (vul in: k = 0, 1 en 2)  z₁ = e^i/6 = 3/2 + i/2,  z₂ = e^5i/6 = -3/2 + i/2,  en z₃ = e^3i/2 = -i. Merk op dat er niet meer dan drie oplossingen zijn, vanwege de periodiciteit van de functie eⁱ. Als je deze oplossingen in het vlak tekent, zie je dat ze de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek vormen.

Algemener geldt zelfs voor een vergelijking van de vorm zⁿ = (voor 0 in , n ), een zogeheten binomiaalvergelijking, dat er n oplossingen zijn en dat deze de hoekpunten vormen van een regelmatige n-hoek met middelpunt in 0. Een aardig resultaat.

Complexe functies

Het laatste begrip dat we tegenkomen in deze reis door de wereld van de complexe getallen, is het begrip functie. We kennen uit de analyse reeds functies f: . Maar we hebben nu ook complexe getallen tot onze beschikking, dus willen we graag functies definiëren van (bijvoorbeeld) de vorm f: , of nog liever van de vorm f: . Functies van het laatste type noemen we complexe functies. In het bijzonder willen we graag beroemde reële functies als exp, sin en cos uitbreiden tot een complexe functie. Een voor de hand liggende voorwaarde hierbij is uiteraard dat de "nieuwe" complexe functie beperkt tot reële getallen weer de "oude" reële functie oplevert. Voor functies opgebouwd uit de reeds gesproken bewerkingen (som, verschil, product, quotiënt en verheffing tot een reële macht) is hier keurig aan voldaan.

Voor de exponentiële functie kennen we reeds een definitie voor reële getallen en voor zuiver imaginaire getallen (waarbij de waarde in 0 "netjes" in beide gevallen 1 is). Het ligt nu voor de hand om de functie exp: voor z = a + bi als volgt de definiëren: exp(a + bi) = e^{a + bi} := (e^a)(e^ib). Voor z geeft dit inderdaad de oorspronkelijke e-machtsfunctie. We hebben nu de belangrijkste functie uit de complexe analyse te pakken. De complexe sinus en cosinus worden van deze functie afgeleid: sin z := (e^iz - e^-iz) / 2i en cos z := (e^iz + e^-iz) / 2. Ook voor deze functies geldt dat ze voor reële getallen de oorspronkelijke reële functie opleveren (al is dat in deze gevallen niet zo gemakkelijk te controleren), en dat ze voldoen aan bijna alle gebruikelijke rekenregels die we kennen voor hun reële broertjes (of zusjes).

Analoog aan het reële geval kunnen we begrippen uit de analyse zoals limiet, continuïteit, differentieerbaarheid, afgeleide, machtreeks, etc. ook weer definiëren voor complexe functies. En je voelt 'm al aankomen: bijna alle bekende regels uit de reële analyse (zoals de regels voor het differentiëren) gelden ook weer in het complexe geval!

We hebben nu onder andere gezien hoe je kan uitbreiden tot een grotere verzameling , hoe je met deze complexe getallen kan rekenen, en hoe je aan meer vergelijkingen een oplossing kan toekennen door complexe oplossingen toe te laten. Dit alles kan bij vele wiskundige problemen nuttig zijn, zelfs bij "reële problemen" waarvoor we uiteindelijk een "reële oplossing" zoeken (te denken aan bijvoorbeeld reële differentiaalvergelijkingen of reële integralen). Dat blijft voor nu wat vaag. Ik probeer in de toekomst op deze site concrete toepassingen van complexe getallen en functies te laten zien.

Link: Op deze site wel een héél opmerkelijke behandeling van de complexe getallen.