I. Absolute waarde
functies (modulusfunktie's)
II.1� Absolute waarde
|
Afbeelding 52 De getallenlijn |
In "getallenlijn" heb
je kennis gemaakt met de getallenlijn.:
Van ieder getal op de getallenlijn
bepalen we nu hoever het van 0 afligt. Men noemt dit de absolute waarde
van dat getal of de moduluswaarde. We noteren de absolute waarde van
een getal door twee vertikale strepen om dat getal
te zetten:
|2| = 2
|-2| = 2
|-3| = 3
De absolute waarde van een
getal kunnen we opvatten als de afstand van dat getal op de getallenlijn
tot 0. De afstand is altijd positief.
Als een getal x positief is, is
de absolute waarde van het getal x gelijk aan het getal x:
|x| =
x als x ³ 0
|
Afbeelding 53 y=|x| |
Als een getal x negatief is, is
de absolute waarde van het getal x het tegengestelde getal -x:
|x| =
-x als x £ 0
Deze twee gevallen gebruiken we
in de definitie van de absolute waarde (moduluswaarde) van x:
|x|
= x als x ³
0
|x|
= -x als x £
0
We kunnen nu de grafiek tekenen
van de functie:
y = |x|
Voor x ³
0 geldt dat de functie
f(x) = |x|
gelijk is aan de functie
f(x) = x
dat is een rechte lijn door de
oorsprong met richtingskoëfficient
r.c. = 1
Voor x £
0 geldt dat de functie
f(x) = |x|
gelijk is aan de functie
f(x) = -x
dat is een rechte lijn door de
oorsprong met richtingskoëfficient
r.c. = -1
|
Afbeelding 54 y=x gespiegeld ten opzichte van y=o levert y=|x| |
De grafiek van
f(x) = |x|
kun je ook tekenen door eerst te
tekenen:
f(x) = x
en vervolgens het gedeelte onder
de x-as (het gedeelte waar y negatief is) te spiegelen in de x-as(zodat y
positief is)
Voorbeeld 1
Gegeven de functie:
f(x) = |x - 1|
en de functie:
g(x) = 3
Bereken de snijpunten van f en
g.
oplossing
f(x) = g(x) gelijk
stellen
|x -
1| = 3 invullen
x - 1 = 3 als x - 1 ³ 0
{ -(x
- 1)= 3 als x - 1 £ 0 volgens
definitie
x - 1 = 3 als x - 1 ³
0
{ x - 1 = -3 als x - 1 £
0
x = 4 als x ³
1
{ x = -2 als x £
-1
oplossing:
x = -2 of x = 4
snijpunten:
(-2 , 3) (4 , 3)
Het kan handig zijn om vergelijkingen
waarin de absolute waarde voorkomt grafisch op te lossen:
|
Afbeelding 55 f(x)=|x-1| en g(x)=3 |
Voorbeeld 2
Gegeven de functie:
f(x) = |x - 1|
en de functie:
g(x) = -3
Bereken de snijpunten van f en
g.
oplossing
f(x) = g(x) gelijk
stellen
|x -
1| = -3 invullen
heeft geen oplossing
x Î
Æ
Wat tussen absoluutstrepen
staat is altijd groter gelijk aan nul en kan dus niet gelijk zijn aan -3.
Grafisch is dit duidelijk
|
Afbeelding 56 f(x)=|x-1| en g(x)=-3 |
II.3� VRAGEN:
1� vul in:
|0| =
|5| =
|-5| =
|5-8| =
|8-5| =
|-4-(-7)| =
|-7-(-4)| =
||-3|-1| =
2� Los op:
a|x + 1| = 2
b|x - 1| = 2
c|x + 3| = -1
d|1 - x| = 8
e |2x - 4| = 6
f |3x + 6| = 9
3� Los op
|x| £
1
|x| =
1
|x|
> 1
|x| ³
2
|x| £
-1
|x|
> 0
|x +
1| ³ 2
|1 - 2x| £
3
|-1 - x| £
5
II.5� Uitbreiding
absolute waarde functies
Voorbeeld 3
Gegeven de functie
f(x) = |x2 - x - 6|
Teken de grafiek van deze
functie
oplossing
In hoofdstuk 3 is reeds getekend de grafiek van de functie
y = x2 - x - 6
Voor y ³
0 is dit gelijk aan de grafiek van de functie
f(x) = |x2 - x - 6|
Voor y £
0 moeten we de tegengestelde waarde nemen. Dit betekent
dat we de grafiek van
f(x) = |x2 - x - 6|
kunnen tekenen door het gedeelte van
de grafiek van y = x2 - x - 6 dat beneden de x-as ligt
(y £ 0) te spiegelen in de x-as. Dit levert de
grafiek van f(x) = |x2 - x - 6|.
|
Afbeelding 57 y=|x2-x-6| |
II.7� VRAGEN
1� Teken de grafiek van de volgende functies:
af : x ® |x|
bf : x ® |x| + 1
cf : x ® |x| - 1
df : x ® |x + 1|
ef : x ® |x - 1|
ff : x ® ||x|-1|
gf : x ® ||x|-1| + 1
2� Teken de grafiek van de functie:
f : x ® |x2
- 3x + 2|
3� Teken de grafiek van de functie:
|
|
|
|
|
|
Bepaal ook de asymptoten van
deze functies.
4� Gegeven de twee functies
f : x ® |2x - 5|
g : x ® x + 3
abereken de snijpunten van f en van g
bbepaal de konstante
c Î
Å zodanig dat de grafiek van de functie
g : x ® x + c
de grafiek van f raakt. Geef de koördinaten van het raakpunt.
5� Teken de grafiek van
|
|
en van
|
|
6� Gegeven de volgende grafieken.
|
Afbeelding 58 bepaal
het funktievoorschrift |
|
Afbeelding 59 bepaal
het funktievoorschrift |
Bepaal het bijbehorende funktievoorschrift.
7� Los op
a │ 2x - 3│ = 4
b │ -1 - (-x)│ = 15
c │ 3 - 2x│ = -3
8� los op
a │ 2x - 1 │ ³ 3 b │ 3x - 2 │ £ 4
9� gegeven de functie
f(x) = -│ 2x + 2│ + 2
a teken de grafiek van f
b Bepaal Df en Bf
c Heeft f een uiterste waarde?
Zo ja, bepaal deze.
|
Afbeelding 60 bepaal het funktievoorschrift |
10� gegeven bovenstaande grafiek . Bepaal
het funktievoorschrift
11� Gegeven de functie
|
|
a teken de grafiek van deze functie
b bepaal het snijpunt van de functie
f met de functie g(x) = -x + 2