Tweede graads funkties
I.1� Voorbeeld
Opgave:
Iemand schiet een kogel met een beginsnelheid van 40 [m/s] recht
omhoog. In de tabel staat de hoogte h als functie van de tijd t
weergegeven:
|
t [sek] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
h [m] |
0 |
35 |
60 |
75 |
80 |
75 |
60 |
35 |
0 |
a Maak op ruitjespapier de grafiek van h
als functie van de tijd t
b De plaats h als functie van de tijd is uit te drukken in
de formule:
h = -5t2
+ 40t
Kontroleer dit!
De hierboven beschreven beweging is een voorbeeld van een tweede graads functie. De hoogte h hangt kwadratisch af van
de tijd. De grafiek van h als functie van t is een parabool .
I.3� Algemene
theorie over tweede graads funkties
I.4�a� funktievoorschrift
Het algemeen funktievoorschrift voor een
tweede graads functie is:
f(x) = a×x2
+ b×x + c
Hierin zijn a , b en c konstanten;
a Î Å b Î Å c Î Å
We noemen a , b en c de parameters
van de tweede graads functie f. De hoogste macht van
x in het funktievoorschrift is twee (bij x2)
Er geldt:
a ¹
0
omdat er anders
een eerste graads functie staat.
Voor a > 0 geldt : de grafiek
is een dalparabool; de functie heeft een minimum.
Voor a < 0 geldt : de grafiek
is een bergparabool; de functie heeft een maximum.
I.4�c� Top
De x-waarde van de top van een parabool bereken we met behulp
van de formule:
|
|
De y-waarde van de top vinden we door de
gevonden x-waarde van de top in te vullen in het funktievoorschrift f
.
De top is dan het punt (xTop , yTop)
Als a > 0 dan is yTop
het minimum van f.
Als a < 0 dan is yTop
het maximum van f.
I.4�e� symmetrie-as
Een parabool is links en rechts van de top symmetrisch; anders
gezegd een parabool is symmetrisch rondom de lijn :
|
|
Deze symmetrie-as verdeelt de
parabool in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van
de lijn l. Hiervan kunnen we gebruik maken bij de berekening van een
aantal punten op de parabool: In voorbeeld 1 is de symmetrie-as
de lijn t=4 [sek] . Daarom geldt:
h(3) = h(5)
h(2) = h(6)
h(1) = h(7)
h(0) = h(8)
Indien we weten dat twee punten van een parabool op gelijke hoogte
liggen, dan kunnen we daaruit meteen de symmetrie-as
bepalen; deze moet dan halverwege liggen. Uit bijvoorbeeld
h(0) = 0 en h(8)
= 0 volgt onmiddellijk dat de symmetrie-as van de
tweede graads functie
h(t) = -5t2
+ 40t
ligt bij t
= 4
I.4�g� Nulpunten
De nulpunten van een parabool vinden we door te stellen:
f(x) = a×x2
+ b×x + c = 0
Het is mogelijk dat deze vergelijking geen oplossing heeft, alle
punten van de parabool liggen dan aan een zijde van de x-as (bij een dalparbool,als a > 0 ,liggen in dat
geval alle punten van de functie boven de x-as; bij een bergparbool,
als a < 0,liggen alle punten van de functie dan onder de x-as)
Om na te gaan of een tweede graads
functie f wel of niet nulpunten heeft berekent men de
Diskriminant
Hierbij dient een drietal gevallen onderscheiden te worden:
i Indien geldt:
D < 0
dan heeft de
functie geen nulpunten, dit noteert men ook als:
y
= 0 Þ x Ï Å
( x is geen element van de verzameling van reële getallen, de vergelijking
y =0 kan niet voor x
Î Å
)
ii Als geldt:
D = 0
De diskriminant is nul dan heeft de functie één nulpunt; De vergelijking f(x) = a×x2
+ b×x + c = 0 heeft één oplossing. De grafiek van de functie
f raakt dan de x-as, het raakpunt is de top:
( xtop ,0)
Men
kan dit geval ook beschouwen als het samenvallen van de twee snijpunten in een raakpunt.
iii Indien geldt dat de Diskriminant
positief is
D > 0
dan heeft de
functie f twee nulpunten, men spreekt ook wel over de twee wortels van
de tweede graads vergelijking.
De twee nulpunten x1 en x2 worden gegeven
door
|
|
Men vat deze twee formules ook samen tot één formule:
|
|
Hierin is ± plus of min, men krijgt zo twee antwoorden. Deze formule
staat bekend als : De ABC-formule.
We hebben de A-B-C-formule nog niet
afgeleid, maar slechts de resultaten gegeven. In onderstaande paragraaf volgt
voor de liefhebbers een algebraïsche afleiding van de hierboven gegevn resultaten
I.5� De som-produkt regel, voorbeelden
De in de vorige paragraaf behandelde
abc-formule levert altijd een antwoord op de vraag naar de nulpunten van een
tweede graads functie.
In sommige gevallen kan met behulp van de som-produkt methode het antwoord
sneller gevonden worden.
Voorbeeld 1:
Beschouw de functie:
y
= (x+2)×(x+3)
Ga na dat geldt:
y = (x+2)×(x+3)
Û y = x×x + 2×x + x×3 + 2×3
Û y = x2 + 2x + 3x + 6
Û y = x2 + 5x + 6
Hierbij geldt :
5 = 2 + 3
6 = 2 ×
3
De nulpunten van y=x2+5x+6 zijn niet meteen te bepalen;
de nulpunten van
y
= (x+2)×(x+3)
zijn onmiddellijk
te bepalen uit
0 = (x+2)×(x+3)
└───┘
└───┘
Û0 = A × B
Û0 =
A Ú 0 = B
Û0 =
x+2 Ú 0 = x+3
Û-2 =
x Ú -3 = x
Berekenen
we de nulpunten van
y = x2 + 5x + 6
|
|
met behulp van de ABC-formule
dan vindt men eveneens
|
|
Û x = -2 Ú x = -3
Aan
de hand van dit voorbeeld zien we dat de tweede graads
functie
y = x2 + 5x + 6
ontbonden kan worden in het produkt van de faktoren
x + 2 en x +
3 .
De
oplossing van y = 0 (de nulpunten) is dan
x = -2 Ú x =
-3 ( Ú is of)
Men
kan de faktoren bepalen door te zoeken naar twee
(gehele) getallen met:
som = 5 en produkt = 6.
Men
vindt dan de gehele getallen 2 en 3 en bepaalt hiermee de faktoren
x + 2 en x + 3 en de nulpunten
(-2 , 0) en (-3 ,
0).
In
dit voorbeeld gelden als parameter
a=1 b=5 c=6
|
Afbeelding 12 y=x2+5x+6 |
De som-produkt methode komt voornamelijk van pas als :
a=1
of als we de vergelijking door a kunnen delen
en de parameters b en c zijn ook deelbaar door a, zodat we een nieuwe
vergelijking krijgen met
a=1 en b,c Î Í
, zie voorbeeld 4.
In andere gevallen wordt het ontbinden al snel lastig, zodat we
sneller op de ABC-formule kunnen vertrouwen.
De grafiek van y = x2
+ 5x + 6 = (x+2)×(x+3) is getekend in
afbeelding 12.
Voorbeeld 2
Gegeven de functie
f(x)
= x2 - 6x
De nulpunten van f vinden we door te ontbinden in een produkt van twee faktoren:
Û0 = x2
- 6x
Û0 = x×(x
- 6)
Û0 = x
Ú 0 = x - 6
Û0 = x
Ú 6 = x
nulpunten (0 , 0)
en (6 , 0)
Men vindt de faktoren door te zoeken naar
twee getallen met som=-6 en produkt =0:
-6 + 0 = -6
-6 ×
0 = 0
|
Afbeelding 13
y=x2-6x |
Voorbeeld
3
f(x)
= x2 + 2×x + 1
Met behulp van de som produkt methode zoeken we twee getallen met som=2 en produkt=1, we vinden
1+1=2 en 1×1=1
dus
f(x)
= x2 + 2×x + 1
Ûf(x) = (x + 1)×(x +
1)
Ûf(x) = (x + 1)2
|
Afbeelding 14
y=x2+2x+1 |
De functie f heeft één nulpunt :
f(x) = 0 Ûx
= -1
De functie f raakt de x-as in het punt (-1
, 0)
Voorbeeld
4
Gegeven de functie
De nulpunten van f zijn te bepalen met
2x2
+ 6x + 4 = 0
|
|
Û2 ×
(x2 + 3x + 2) = 0 3 = 1
+ 2 2 = 1×2
Û2 ×
(x+1) × (x+2) = 0
Ûx=-1 Ú x=-2
|
Afbeelding 15
y=2x2+6x+4 |
De nulpunten van f zijn (-2 , 0) en (-1 ,
0)
Voorbeeld 5
de nulpunten van
de functie
y = x2
- 36
zijn te bepalen
met
x2 -
36 = 0 -6 + 6 = 0 -6 × 6
=-36
Û(x
- 6)×(x + 6) = 0
Ûx = 6 Ú x = -6
Nulpunten (-6 , 0) en (6 , 0).
|
Afbeelding 16
y=x2 - 36 |
I.7� De
grafiek van tweede graads funkties
I.8�a� tekenen
grafiek van tweede graads functie
Voor
het tekenen van grafieken van tweede graadsfunkties
dienen een aantal zaken bepaald te worden:
-
vaststellen of het een berg- of dalparabool is;
-
de eventuele nulpunten van de functie;
-
de top (xtop,ytop);
-
de symmetrie-as (vertikale
lijn, gaat door de top);
-
de koördinaten van nog enkele punten, ook het
snijpunt met de y-as dient bepaald te worden.
I.8�c� symmetrie-as
Als de functie twee nulpunten x1 en x2
heeft, dan is daaruit onmiddellijk de xtop
te berekenen en tevens de vergelijking voor de symmetrie-as:
|
|
|
Afbeelding 17 midden
tussen de nulpunten |
De
symmetrie-as loopt door het punt op de x-as midden
tussen de nulpunten x1 en x2.
De
symmetrie-as gaat ook door de top.
Gebruik
makend van de symmetrie-as hoeft men voor het bepalen
van enkele punten van de grafiek maar één berekening te maken om twee punten
te bepalen; het punt 1 rechts van xtop en
1 links van xtop hebben dezelfde y-waarde.
Met
behulp van een tabel met de verkregen resultaten maakt men een tekening,
waarbij een domein en bereik voor de tekening gekozen moet worden.
Teken
de grafiek door de gegeven punten.
I.9� Oplossen
tweede graads vergelijkingen.
Een
tweede graads vergelijking ontstaat indien
we een tweede graads functie gelijk stellen aan een
andere tweede graadsfunktie, eerste graadsfunktie of konstante
functie. Voor het oplossen van een tweede graads vergelijking gaan we te werk volgens onderstaand
schema:
i herleid de vergelijking op 0
ii Vereenvoudig de vergelijking (indien mogelijk)
iii Probeer te ontbinden in faktoren
met de som-produktmethode.
Pas toe:
A×B=0 Û A=0 Ú B=0
Lukt dit niet (meteen) gebruik dan de ABC-formule:
Het aantal oplossingen van de tweede graads
vergelijking wordt bepaald met de Discriminant
van de verschilfunktie die is ontstaan na herleiden
op 0:
|
|
aantal
oplossingen:
|
Discriminant D |
positief |
nul |
negatief |
|
aantal oplossingen |
twee |
een |
nul |
|
Afbeelding 18 y=ax2+bx+c als a>0 of
a<0 en als Diskriminant
D>0 of D=0 of D<0 |
I.11� Voorbeelden
Voorbeeld 6
Gegeven
f(x) = x2 - x - 6
-
Het is een dalparbool want a = 1 > 0
-
De top bepalen we met
yTop = (½)2 - ½ - 6
=
¼ - ½ -6 = -6¼
|
|
Dus
de top heeft kordinaten(½ , -6¼)
y = -6¼ is een
minimum want a=1 > 0.
|
|
|
|
De Diskriminant wordt bepaald om te onderzoeken
of er nulpunten zijn:
D = 25 > 0 er zijn 2 nulpunten:
dus de nulpunten
zijn : (-2 , 0) en (3 , 0)
|
|
hieruit
hadden we eveneens kunnen konkluderen dat de symmetrie-as gegeven wordt door
x = ½
|
Afbeelding 19 y=x2-x-6 |
de twee nulpunten
liggen symmetrisch ten opzichte van de symmetrie-as.
Dus is de symmetrie-as
|
|
hetgeen in
overeenstemming is met het eerder gegeven resultaat.
- Tenslotte
maken we een tabel, gebruik makend van de symmetrie rondom x=½
berekeningen:
x = 0 Þy = 02
- 0 -6 = -6
x = 1 Þy =
-6
x =-1 Þy =
(-1)2 -(-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4
x = 2 Þy =
-4
tabel:
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
½ |
1 |
2 |
3 |
|
y |
0 |
-4 |
-6 |
-6¼ |
-6 |
-4 |
0 |
grafiek
: zie boven.
Voorbeeld 7
|
|
|
Afbeelding 20 y=2x2-3x+5 |
f(x)
= 2x2 - 3x + 5
a=2 b=-3
c=5
|
|
De diskriminant D = -31 is negatief. De wortel uit een negatief getal bestaat
niet.
Er zijn geen nulpunten.
|
|
|
|
Dat is niet verwonderlijk als eerst de top wordt berekend:
f(¾)
= 2×(¾)2 - 3×¾ + 5
f(¾)
= 2 × 9 - 9
+ 5
16 4
f(¾)
= 9 - 18 + 5
f(¾)
= 3_
De top van f ligt dus boven de x-as.
Omdat de parameter a positief is , is f
een dalparbool, 3_ is dus het minimum.
f ligt dus geheel
boven de x-as,
Bf
= [ 3_ , ¥ >
.
Alle y-waarden zijn groter dan of gelijk
aan 3_,
de waarde
y=0
is dus onmogelijk
(zit niet in het Bereik).
I.13� Snijden
van een tweede graads funkties
en een eerste graads functie.
Indien een tweede graads functie f(x) en
een eerste graads functie g(x) gegeven zijn, kunnen
we onderzoeken of de grafieken van f en g elkaar snijden door te stellen:
f(x) = g(x),
en vervolgens op
nul te herleiden
f(x) - g(x) = 0.
Hier staat dan een tweede graads functie
(deze tweede graads functie zou
men de verschilfunktie
h(x) = f(x) - g(x)
kunnen noemen, we lossen nu op
h(x) = 0)
|
Afbeelding 21 f(x)=x2
en g(x)=2x+3 |
De oplossing van de laatste vergelijking kan bepaald worden met de
ABC-formule . De gevonden x-waarden
zijn tevens de x-waarden van de snijpunten van f en
g. De y-waarden van de snijpunten ( als er
snijpunten zijn ) worden gevonden door de gevonden x-waarden
in te vullen in een van beide funkties f en g. Het is
mogelijk dat de grafieken van f en g geen snijpunten hebben, dan is de diskriminant van de vergelijking
die ontstaat als we op nul herleiden negatief: D < 0 .
Voorbeeld 8
|
Afbeelding 22 y=x2-2x+3 |
Gegeven de tweede graads functie
(kwadratische functie)
f(x) = x2
en de eerste graads functie (lineaire functie)
g(x) = 2x + 3
Bereken de snijpunten van de funkties f
en g.
(zie afbeelding 21)
Oplossing:
In het snijpunt geldt:
f(x) = g(x) gelijkstellen
x2 =
2x + 3 invullen
x2 -
2x - 3 = 0 .....op 0
herleiden
(x-3)×(x+1) = 0 ontbinden in faktoren
x - 3 = 0 Úx
+ 1 = 0 faktoren
0 stellen
x = 3Úx =
-1 x-koördinaten
s.p.
f(3)=g(3)=9f(-1)=g(-1)=1 invullen
in f (of g)
snijpunten
(3 , 9)Ú(-1 , 1) OPLOSSING
GEVONDEN
Indien we de grafiek tekenen van de funkties
f en g dan zien we de snijpunten:
(-1 , 1) en (3 , 9)
Ter vergelijking
tekenen we ook de grafiek van de vergelijking die ontstaat als we op 0
herleiden .... dit is de grafiek van h(x)=x2-2x-3
met
h(x)=f(x)-g(x)
|
Afbeelding 23 f(x)=x2 g(x)=2x-1 |
De nulpunten van h(x) zijn: (-1 , 0) en (3 ,
0).
Voorbeeld 9
Gegeven :
f(x) = x2
g(x) = 2x - 1
Bepaal de snijpunten.
Antwoord
f(x) = g(x) gelijkstellen
x2 =
2x - 1 invullen
x2 -
2x + 1 = 0 op 0
herleiden
(x - 1)×(x - 1) = 0 ontbinden in faktoren
x - 1 = 0 faktoren
0 stellen
x = 1 x-koördinaat
s.p.
f(1) = g(1) = 1 invullen in f (of g)
snijpunt :(1,1) OPLOSSING
GEVONDEN
We zien : er is één snijpunt
De rechte lijn g(x) = 2x - 1 raakt de parabool f(x) = x2
; het raakpunt is het punt (1 , 1)
Merk op
dat de diskriminant van
de vergelijking die ontstaat als we op 0 herleiden, gelijk is aan 0:
x2 -
2x + 1 = 0 ,
Dit is de diskriminant
van de vergelijking van de verschilfunktie
h(x) = f(x) -
g(x)
= x2 - 2x + 1 .
De grafiek van de functie
|
Afbeelding 24 h(x)=x2-2x+1 |
h(x) = x2
- 2x + 1 raakt de x-as in het punt (1 , 0). De diskriminant van h is D = 0.
Voorbeeld 10
Gegeven
f(x) = x2
g(x) = x-1
Proberen we de snijpunten van f en g te berekenen dan vinden we
f(x) = g(x) gelijkstellen
x2 = x
- 1 invullen
x2 - x
+ 1 = 0 op 0
herleiden
D = (-1)2-4×1×1
= 1 - 4 = -3 Diskriminant
bepalen
D < 0Þx Î
φ
|
Afbeelding 25 f(x)=x2 g(x)=x-1 |
GEEN SNIJPUNTEN
KAN NIET OPLOSSING GEVONDEN.
We zien : er is GEEN snijpunt; zie nevenstaande
grafiek.
I.15� Snijpunten
van twee tweede graads funkties
Als er twee tweede graads funkties f en g gegeven zijn dan kan men op soortgelijke
wijze vaststellen of er snijpunten zijn. Het blijkt zelfs mogelijk dat twee tweedegraadsfunktie's elkaar raken.
Voorbeeld 11
Gegeven
f : x ®
¾x2 + 1
g : x ®
x2 - x + 2
Bepaal de snijpunten van de functies f en g.
f(x) = g(x) gelijkstellen
¾x2 + 1 = x2 - x + 2 invullen
op 0
herleiden :
1 = ¼x2 - x + 2 -¾x2
0 = ¼x2 - x + 1 -1
vereenvoudigen :
0 = x2 - 4x + 4 ×4
som-produktmethode :
-2-2=-4 -2×-2=4
0 = (x - 2)×(x - 2) ontbinden in faktoren
x - 2 = 0 Úx
- 2 = 0 faktoren
0 stellen
x = 2Úx = 2 x-koördinaten s.p.
x = 2
f(2) = g(2) x=2
invullen in f en g
¾22 + 1 = 22 - 2 + 2 invullen
3 + 1 = 4 - 2 + 2 uitrekenen
4 = 4
GEVONDEN
OPLOSSING KLOPT!
|
Afbeelding 26 rakende
parabolen, detail |
|
Afbeelding 27 twee rakende
parabolen |
Er is maar een snijpunt (men
zegt ook dat de twee snijpunten samenvallen)
De functie f en de functie g
raken elkaar in het punt (2,4). De diskriminant
van de vergelijking
0 = x2 - 4x + 4
D = (-4)2 -4×1×4 = 16 - 16 = 0
In bovenstaande afbeeldingen
zijn de twee functies getekend, waarbij de tweede afbeelding het raakpunt uitvergroot
weergeeft.
Voorbeeld 11
Gegeven de twee functies
f : x ® -3x2 + 3
g : x ® -4x2+ 3x
+ 13
Bepaal de snijpunten van de grafieken
van f en g.
Oplossing
In het snijpunt geldt:
f(x) = g(x) gelijkstellen
-3x2 +3 = -4x2
+ 3x + 13 invullen
op 0 herleiden
x2 - 3x - 10 = 0 +4x2-3x-13
ABC-formule:
a=1b=-3c=-10
|
|
D = (-3)2 - 4×1×-10 = 9 + 40 Diskriminant bepalen
|
|
D = 49TWEE SNIJPUNTEN
x1 = -2x2 = 5 x-koördinaten
s.p.
f(-2)=g(-2)
-3×(-2)2 + 3
= -4×(-2)2 + 3×-2 + 13
-3×4 + 3 = -4×4 + -6 + 13
-12 + 3 = -16 - 6 + 13
-9 = -9 KLOPT
y1 = -9
punt (-2 , -9)
f(5)=g(5)
-3×(5)2 + 3
= -4×(5)2 + 3×5 + 13
-3×25 + 3 = -4×25 + 15 + 13
-75 + 3 = -100 + 28
-72 = -72 KLOPT
y2 = -72
punt (5 , -72)
We hebben als extra kontrole de gevonden x-waarden
nog eens ingevuld in de originele vergelijking. Dit kan een hulpmiddel zijn in
het vermijden van fouten. In afbeelding 28 is nog eens de grafiek van de
functies f en g getekend.
|
Afbeelding 28 f(x)= -3x2+3 g(x)=-4x2+3x+13 |
I.17� VRAGEN
I.18�a� open vragen
1� Gegeven de tweede graads functie
f : ® x2
+ 4x + 5
Bepaal een konstante
functie
g : x ® c
zodanig dat de grafiek van g de
grafiek van f raakt.
2� Gegeven de tweede graads funkties:
f(x) = 3x2 + 2x +1
g(x) = -x2 -3x -1
aBereken de snijpunten van f en g
bBepaal de nulpunten van f en g
cBepaal de symmetrie-as
van f en de symmetrie-as van g
dTeken in één figuur de grafieken van
f en g
3� Gegeven de funkties
f : x ® x2 + 2x
+ 4
g : x ® x + b
met b Î Å konstant
Bepaal de konstante
b zo dat de grafiek van g de grafiek van f raakt
4� Gegeven de functie
y = 7×(x-4)2 -
13
aWat is het minimum van deze
functie?
bWat is de symmetrie-as
van deze functie?
cBereken de nulpunten van deze functie
5�Bepaal van de
volgende tweedegraads vergelijkingen de
discriminant en ga na hoeveel wortels de vergelijkingen hebben.
a. x2
+ 2x + 3 = 0
b. -½x2 - 2x + 6 = 0
c. x2
- 6x + 9 = 0
6�Ontbind in factoren
:
a. x2 - x
- 6 = 0
b. x2 + x + ¼ = 0
c.
2x2 - 9x + 9 = 0
7� Gegeven de grafiek in bovenstaande figuur. Bepaal het funktievoorschrift.
|
Afbeelding 29 bepaal het funktievoorschrift.... |
8�Gegeven is de kwadratische
functie ¦ :
¦(x) = -x2
+ 6x - 5 Het
domein van de functie is het interval Df
= [ 0, 6 ].
De onderstaande vragen a t/m d
hebben betrekking op grafiek van ¦.
a. Bereken het snijpunt met de
y-as
b. Bereken de snijpunten met
de x-as
c. bepaal
de vergelijking van de symmetrie-as
d. Bereken de coördinaten van
de top
e. Teken de grafiek van de
gegeven functie ¦.
9�Gegeven de functies
fp : x ® 2x2 + 2x
+ p
Hierin is p Î Å
een parameter van de functie;
voor iedere waarde van p is een
functie fp gedefinieerd.
aals p = 0
teken de grafiek van f0.
bals p = 4
teken de grafiek van f4.
10�Gegeven:
f : x ® ¼x2 + 3
g : x ® 2x + 5
aBepaal de snijpunten van f en g
bTeken in een figuur de grafieken
van f en g.
11�Gegeven
f : x ® 2x2 - 3x
+ 1
abereken de nulpunten van f
bbereken de top van f
cBepaal de vergelijking van de symmetrie-as van f
dTeken de grafiek van f
I.18�c� Meerkeuze
opgaven
1� De grafiek van de functie f(x) = x2 + x ‑ 6 is :
a�Een dalparabool met als
nulpunten (‑3,0) en (2,0)
b�Een dalparabool met als
nulpunten (3,0) en (‑2,0)
c�Een bergparabool met als
nulpunten (‑3,0) en (2,0)
d�Een bergparabool met als
nulpunten (3,0) en (‑2,0)
|
Afbeelding 31 de eerste graads functie f raakt de
tweede graads functie g |
2� Een van de snijpunten van de grafieken van de funkties
f(x) = x2 ‑ 3x ‑ 6 en
g(x) = 2x2 ‑ 7x ‑ 11 is :
a�(1,4)
b�(‑1,4)
c�(5,‑4)
d�(5,4)
3� In nevenstaande figuur (afbeelding 28) raken de grafieken
van de funkties f en g elkaar. Daarbij is f een
tweede‑graads functie en g een
eerste‑graads
functie. Wanneer we het functievoorschrift
van f(x) en g(x) aan elkaar gelijk stellen, ontstaat een ......‑graads vergelijking, waarvoor geldt: .....
a�eerste; D = 0
b�tweede; D = 0
c�eerste; D > 0
d�tweede; D > 0
4� De grafiek van een functie f(x) = x2 + px ‑ ¼ heeft 2 snijpunten met de x‑as. Voor
welke waarde van p geldt dit ?
a� ‑1 < p < 1
b� p < ‑1 of 1
< p
c� 1 < p
d� alle p Î Å
5� Bepaal de vergelijking van de symmetrie‑as
en de snijpunten met de
x-as van de grafiek van de functie:
f(x) = ‑4(2
‑ x)2 .
vergelijking van
de symmetrie‑as: snijpunten:
a�x
= 2 raakpunt :(2,0)
b�x = ‑2 (2‑2Ö2,0);(2+2Ö2,0)
c�x = ‑½ (2‑2Ö2,0);(2+2Ö2,0)
d�x
= ½ geen
6� De diskriminant
van de vergelijking
y = 2x2 - 2x - 3
is gelijk aan
aD = 12
bD = 24
cD = 28
dD = -8
7� De symmetrie-as van de parabool
y = -x2 + 2x - 3
is de lijn met vergelijking:
ax = -1
bx = 1
cy = 3
dx = 3
8� De uiterste waarde van de functie
f(x) = 7x2 - 126x +
84
is gelijk aan
a58,31
b321
c9
d-483