1) Lineaire
functies
a) De
konstante functie
|
Afbeelding 5 De functie y =
3 |
De algemene vergelijking van de konstante functie is:
f(x) = c
Hierin is de parameter c konstant,
c Î Å
Kiezen we bijvoorbeeld c = 3 , dan krijgen we de functie
y=3
Merk op dat x niet voorkomt in het functie voorschrift; voor alle
x Î Å
geldt: f(x) = 3 .
De grafiek van de functie x ® 3 is
een rechte lijn evenwijdig aan de x-as .
c) De
vertikale lijn
|
Afbeelding 6 De lijn x = 2 |
De formule voor een vertikale lijn (een lijn evenwijdig aan
de y-as) luidt
x = c
Hierin is de parameter c konstant,
c Î Å
Kiezen we bijvoorbeeld c = 2 , dan krijgen we de formule
x = 2
Dit is geen functie! De grafiek van de lijn x=2 is getekend in onderstaande afbeelding
e) Eerste
graads funkties
De algemene vergelijking van een eerste graads functie is:
f(x) = a×x + b
Hierin zijn a en b de parameters van de functie;
a Î Å , b Î Å , a ¹ 0.
(indien a = 0 hebben we de konstante functie).
De hoogste macht van x in het funktievoorschrift van een eerstegraads
functie is 1 (x1 = x).
Kiezen we bijvoorbeeld a=2 en b=-3
dan ontstaat de eerste graads functie
f(x) = 2x - 3
In plaats van eerste graads funkties noemt men deze ook : lineaire
funkties. De konstante a heet de richtingskoëfficient, afgekort rico
of r.c.
i) richtingskoëfficient en differenties
Afbeelding
7 de rechte lijn
y=ax+b met richtingskofficient
a=Δy¸Δx
Laten ( x1 , y1 ) en ( x2 , y2
) twee verschillende punten zijn op de grafiek van een eerste graads functie
y = a×x + b
Invullen in het funktievoorschrift levert:
|
|
y1= a×x1 + b
en y2 = a×x2 + b.
Trekken
we de eerste vergelijking af van de tweede, dan krijgen we:
|
|
In de laatste vergelijking komt b niet meer voor, zodat we de
richtingskoëfficient kunnen berekenen met
|
|
Voor de richtingskofficient kunnen we nu schrijven:
Men noemt
de differentie
van y
en 
de differentie
van x.
Δ (spreek uit Delta) is
de griekse hoofdletter D van differentie(=verschil).
Nemen we
x2 > x1
,
dus Δx > 0
dan noemen we de functie stijgend als geldt:
Δy > 0
en dus r.c. a > 0.
De functie heet dalend indien geldt:
Δy < 0
en dus ook r.c. a < 0.
Merk op dat Δx de toename in de x-richting en Δy de
toename in de y-richting voorstelt.
Daarom is
een maat voor de steilheid van een lineaire functie.
iii) Snijpunt y-as
|
|
Het snijpunt met de y-as van een lineaire functie vinden
we uit:
Dit levert het punt (0,b).
|
Afbeelding 8 de rechte lijn
y=2x-3 |
v) Voorbeeld lineaire functie
Voorbeeld 1
Voor de functie
y = 2x - 3
is in voorafgaande figuur de grafiek getekend. Het snijpunt met de
y-as is (0,-3) en de richtingskofficient is r.c. = 2.
Indien Δx=1 dan is dus Δy=2 ; één stap naar rechts, twee
stappen omhoog.Het nulpunt wordt gegeven door x=1,5.
vii) Nulpunt
|
|
Het nulpunt van een lineaire functie kunnen we berekenen
uit:
In het voorbeeld y=2x-3 is het nulpunt (1½,0).
g) Evenredig
In het geval dat geldt:
y = a.x
spreken we ook over:
y is evenredig met x, genoteerd als:
y µ
x
(men treft ook nog de oude notatie aan:)
y ~ x
Meetkundig stelt dit een rechte lijn door de oorsprong voor. Kenmerkend
is : als x tweemaal zo groot wordt, dan wordt y twee maal zo groot, als x driemaal
zo groot wordt, dan wordt y drie maal zo groot, enzovoort.
i) de
richtingskoëfficient als parameter
Tenslotte merken we nog op dat voor een horizontale lijn (
constante functie) we kunnen stellen
.
Nemen we bijvoorbeeld de lijn
y = 3
(met als grafiek een horizontale lijn)
en kiezen we twee willekeurige punten , zoals de punten
(21 , 3) en (26 , 3)
dan is
.
De konstante functie noemt men ook wel nulde graadsfunktie, omdat
x niet voorkomt in het funktievoorschrift.
(oftewel de hoogstemacht van x is x0=1;zie hoofdstuk
V)
Voor een vertikale lijn is de richtingskoëfficient niet gedefinieerd
(bestaat niet, wordt oneindig groot).
Nemen we bijvoorbeeld de lijn x = 2 en kiezen we twee willekeurige
punten op deze lijn,
zoals (2 , 21) en (2 , 26) dan is
|
Afbeelding 9 De lijnen y=ax
voor verschillende waarden van de richtingskoëfficient a. |
Å
want delen door 0 mag niet.
In volgende figuur is voor verschillende waarden van de parameter
a een aantal lijnen y = a ×
x getekend. Men noemt dit : het bundelnomogram
van de functie y=ax voor a=-4, a=-1,a=-½, a=0, a=½, a=1, a=4, a=12.
|
Afbeelding 10 y=2x+3 en y=x-1 |
k) Voorbeelden
Voorbeeld 2
Gegeven de funkties:
f(x) = 2x - 3 en g(x) = x - 1
Voor beide funkties zijn een aantal zaken te bepalen:
- de r.c.
r.c. f(x) = 2 r.c.
g(x) = 1
- Het snijpunt met de x-as : y=0
f(x) = 2x + 3 = 0 g(x)
= x - 1 = 0
2x = -3 x
= 1
x = -1.5
Dus (-1.5 , 0) Dus (1 , 0)
- Het snijpunt met de y-as : x=0
f(x) = 2x + 3 g(x) = x - 1
f(0) = 2×0 + 3 g(0) = 0 - 1
f(0) = 3 g(0) = -1
Dus (0 , 3) Dus
(0 , -1)
- Het snijpunt van de funkties f en g :
In het snijpunt van f en g geldt f(x) = g(x).
2x + 3 = x - 1
2x - x = -1 - 3
x = -4
Invullen :
f(4) = 2×(-4) + 3 = -8 + 3 = -5
Dus snijpunt is (-4 , -5)
Voorbeeld 3
Stel een vergelijking op van de lijn l door de punten
A(3 , 7) en B(8 , 2)
Antwoord:
Stel l : y = a×x + b
A(3 , 7) en B(8 , 2) dus Δx = 8 - 3 = 5
en
│ │ │ │ Δy = 2 - 7 = -5
└───┼───────┘ │
|
|
└───────────┘
l : y = -1×x + b
l : y = -x + b
A(3 , 7) op l } Þ 7 = -1×3 + b Û b = 10
l : y = -x + 10
De lijn l is de grafiek van de functie
Voorbeeld 4
Gegeven de lijn l : 3x-2y=3
De lijn m is evenwijdig met l .
Bovendien
gaat m
door punt A(2 , 4)
Stel
een vergelijking van m op.
Uitwerking
l :
3x - 2y = 3 Û -2y = -3x
+ 3
Û y = 1.5x
- 1.5 dus rcl = 1.5
m // l dus
m : y
= 1.5×x +
b
A(2
, 4) op m }
Þ 4 = 1.5×2 +
b
Û b = 1 dus
m : y
= 1.5´ + 1
De lijn m is
de grafiek van de functie
|
|
m) VRAGEN
(1) Stel een vergelijking op van
de lijn
a l door (2, 4) en B(6 , 8)
b m
door C(-2 , 3) en D(3 , -2)
(2) s is een lineaire functie van t
Voor
t = 2 is s = 8 en voor t = 4 is s = 10
a Schrijf s als functie van t
b Bereken s als t = 7
c Bereken t als s = 20
d Teken een grafiek van s als functie
van t
(3) Gegeven zijn de lijnen
k :
2x - 3y = 6 l : ½x + y = 3 m : 2y = 7 n : 3 x = 8
a Teken de gegeven lijnen in één figuur
b Welke van de gegeven lijnen heeft geen rc?
cGeef
van de overige lijnen de rc
(4) Gegeven zijn de lijnen :
k :
x - 2y = 8 m : y = -½x p : 2x = y + 3
l :
2x - y = 8 n : y = ½x
q : x = 2y + 3
Welke
van deze lijnen zijn onderling evenwijdig?
(5) Gegeven de lijnen
l :
y = 3x + 1m : y = -_x - 2
aBereken
het snijpunt van de lijnen l en m
bTeken
in één figuur de grafieken van de lijnen l en m
(6)Een
auto rijdt met konstante snelheid over een snelweg.
In 2
minuten legt de auto
aHoeveel
km legt de auto af in 5 minuten?
bVul
onderstaande tabel in:
|
t(min) |
0 |
2 |
5 |
10 |
12 |
15 |
20 |
|
s(km) |
0 |
3,6 |
|
|
|
|
|
cMaak
(op ruitjespapier) de grafiek van s [km] als functie van t [min].
dDe
afgelegde weg s als functie van de tijd t is uit te drukken in
de formule
Wat stelt 1.8 voor ?
(7)¦(x) = x +
2 en g(x) = - 2x +4½
Het
domein van beide functies is het interval
[ -2, 4 ]
a.Bepaal
de richtingscoëfficiënten van de grafieken van beide functies
b.Teken
de grafieken van de twee gegeven functies in één assenstelsel.
c.Bereken
het snijpunt van de grafieken van de twee gegeven functies.
d.Bereken
van beide grafieken het snijpunt met de x-as.
e.Voor
welke x geldt :
¦(x)<
g(x) ?
(8)Hieronder
zie je een met water gevulde bak. Onder aan de bak zit een kraan. Na een aantal
minuten zet men de kraan open en stroomt de bak leeg. Je kunt dit zien in
onderstaande grafiek
|
|
Afbeelding 11
De waterhoogte als functie van de tijd
Uit
de grafiek kun je aflezen hoeveel water op een bepaald tijdstip nog in de bak
zit.
Geef
met behulp van de pijlnotatie het funktievoorschrift I van de hoeveelheid
water in de bak als functie van de tijd.
Onderscheid
3 gevallen :
|
|
