Welkom in Hotel Oneindig! Het vreemde uithangbord had me bijna afgeschrikt, ware het niet dat alle andere hotels vol waren en alleen hier kamers vrij waren. Maar laat ik niet uitweiden over hoe ik hier verzeild raakte. Het belangrijkste is dat ik er weer uitkwam. Neem mijn waarschuwing daarom ter harte. Wie niet wil opgaan in de grote massa, vermijdt dit hotel!

Waarom lette ik ook niet beter op bij de receptie? De oude man die daar rondscharrelde bleef maar staren naar de vakjes met nummers waarin de sleutels ontbraken. "Weet u," mompelde hij: "Eigenlijk zijn we vol. En omdat u niet van tevoren heeft geboekt, moet ik het eerst met de manager bespreken." De receptionist verdween naar achteren en kwam pas tien minuten later weer tevoorschijn. Hij had een merkwaardige grijns op zijn gezicht. "U heeft geluk! We hebben iedereen een kamer op kunnen schuiven. Kamer 1 is daardoor vrij. Als u hier even wilt tekenen."

Dit zou het logo van Hotel Oneindig kunnen zijn. De Hebreeuwse letter Alef staat voor verzamelingen van oneindige grootte. Alef-nul is de verzameling van alle positieve gehele getallen - zoals de kamernummers in Hotel Oneindig

Een half uur later ging wéér de telefoon. Er was een chartervlucht geland en of iedereen 328 plaatsen op kon schuiven! Op een van de hogere verdiepingen raakte ik even de weg kwijt. Ik liep een gang in met kamernummers 3.187.345.696 tot en met 3.187.345.744. In wat voor een gekkenhuis was ik beland?

De auteur had nog mazzel. Alef-nul is de verzameling van aftelbare oneindigheid: van de ene plek in de rij met getallen kun je naar de volgende komen door 1 erbij te tellen. In Alef-één gaat die vlieger niet op: tussen elke twee getallen in Alef-één zit weer een ander getal uit Alef-één, enzovoorts...

"Een noodgeval," hoorde ik hem mompelen, terwijl hij de microfoon greep die met de luidspreker in de hal was verbonden. "Er komt een bus aan met oneindig veel passagiers. We hebben oneindig veel nieuwe kamers nodig!"

"Dames en heren," schalde het vervolgens door de luidspreker. "U herinnert zich dat u onze aanwijzingen moet opvolgen, hoe raar die ook mogen klinken. Doe alstublieft uw kamerdeur open en schrijf uw kamernummer op een stuk papier. Heeft u dat? Vermenigvuldig uw kamernummer met twee en schrijf de uitkomst daarvan op. Dit wordt uw nieuwe kamernummer!"

Dat is wat iedereen deed. De persoon in kamer 1 ging naar kamer 2 en de familie in kamer 2 ging naar kamer 4. Het stel in kamer 3 ging naar kamer 6. Kamer 12.652 werd in beslag genomen door mensen uit kamer 6.327, enzovoort. Inmiddels was de bus er en stroomden oneindig veel mensen in de hal. Waar moesten die naartoe?

"Ze kunnen de oneven kamers nemen," legde de receptionist uit. "Er zijn immers oneindig veel oneven getallen. Door de verdubbeling van de kamernummers kwamen alle oneven getallen vrij."

Ik heb mijn biezen gepakt toen er even later oneindig veel bussen met in elke bus oneindig veel gasten voor de deur stonden. Terwijl de luidspreker de meest ingewikkelde aanwijzingen rondschalde om de gasten te verplaasten en de passagiers ordelijk uit hun bussen te krijgen, vroeg ik de manager om de rekening.

"Het laatst was u in kamer 798? Dan bent u ons niets verschuldigd. Doordat uw kamer vrijkomt kan iedereen een kamer terug. Uw rekening zal worden betaald door kamer 799. Hun rekening wordt betaald door de familie uit kamer 800, van wie de rekening....

Ik heb niet verder geluisterd en ben gillend het hotel uitgerend. Waarschijnlijk telt de hotelmanager nu nog tot in het oneindige door. Het voornaamste is dat mijn bevindingen zo snel mogelijk in alle reisgidsen moeten komen. Een hotel waar altijd plaats is, is leuk, maar niet als je oneindig vaak van kamer moet wisselen!

Ja, ja, zo gaat dat in Hotel Oneindig," zegt dr. Adrian W. Moore, docent filosofie aan het St. Hugh's College van de universiteit van Oxford. "Het hotel werd bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert, die van 1886 tot 1930 verbonden was aan de universiteit van Königsberg. Hilbert was gefascineerd door het begrip oneindig. Het fantastische hotel gebruikte hij om zijn studenten de zogenaamde 'gelijkmachtigheid' van twee oneindige verzamelingen aan te tonen.

"Oneindige verzamelingen getallen hebben vreemde eigenschappen. Zo lijkt de reeks natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, 5, ... groter dan die van zijn kwadraten 1, 4, 9, 16, 25, ... En toch is ook die laatste verzameling oneindig. Hij is door een bepaalde bewerking 'één-op-één' van de eerste verzameling afgeleid en heeft daardoor dezelfde 'soort' oneindigheid. Daardoor kan Hilbert's hotel gasten blijven opnemen. Het hotel kan wel in de problemen komen, maar pas als zich een hoeveelheid gasten aandient met een hogere 'orde' van oneindigheid."

Een hogere orde van oneindigheid? En ik dacht dat ik al bijna gek werd in Hilbert's hotel!

David Hilbert (1862 - 1943) legde in 1900 zijn vakgenoten 23 grote vraagstukken voor. De problemen die Hilbert zijn vakgenoten voorlegde gingen over verschillende onderwerpen. Het was dan ook zijn bedoeling om de hele wiskunde van de komende eeuw vooruit te helpen, niet één deelgebied.

"Tegenwoordig kun je limieten berekenen voor dergelijke steeds kleiner wordende reeksen. Heel grappig is bijvoorbeeld dat het oneindige aantal kamers van Hilbert's hotel niet eens een oneindige ruimte hoeft in te nemen. Als je iedere volgende verdieping van het hotel half zo groot maakt als de onderliggende, wordt het hele hotel slechts twee keer zo hoog als de begane grond. De limiet van 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... is immers gelijk aan 2."

Hotel Oneindig (naar de bedenker ervan ook wel Hilbert's Hotel genoemd). Als je elke laag van het gebouw half zo hoog maakt als de laag eronder, is het hotel maar twee normale verdiepingen hoog: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... komt namelijk uit op 2, hoeveel termen je ook toevoegt.

Cantor ontdekte dat er verschillende ordes van oneindigheden bestaan. De laagste daarvan noemde hij alef-nul (alef is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Alef-nul bevat alle 'te tellen' oneindigheden, zoals de kamernummers in Hilbert's hotel. Maar daarna komt alef-één, die nog 'oneindiger' is dan alef-nul. Dat er een oneindigheid moet bestaan die méér elementen telt dan alef-nul, toonde Cantor aan met zijn diagonaalmethode.

Cantor ging als volgt te werk. Stel dat je een lijst kunt maken van alle breuken tussen 0 en 1. Die lijst moet oneindig zijn, want er zijn ook breuken die oneindig lang repeteren. Een paar breuken uit die lijst zijn bijvoorbeeld:

(1) 0,4765198...
(2) 0,2914836...
(3) 0,7425398...
(4) 0,9157327...

Bevat de hele lijst wel alle breuken? Kijk eens naar de vetgedrukte getallen in het voorbeeld. Als je die achter een komma plaatst, ontstaat het getal ,4927... Trek je van elk afzonderlijk cijfer van dit getal 1 af, dan ontstaat het nieuwe getal ,3816...

Dit nieuwe getal is echter niet te vinden in de oneindige lijst! Het verschilt van (1) omdat het eerste cijfer niet gelijk is aan het eerste cijfer van (1). Er is 1 van afgetrokken. Het verschilt echter ook van (2) omdat het tweede cijfer 1 kleiner is dan dat van (2). En zo gaat dat verder voor de hele reeks. Je hebt dus een nieuwe breuk gevonden die nog niet in de lijst voorkwam. Voeg je die nieuwe breuk alsnog aan de lijst toe, dan kan er weer een nieuw diagonaalgetal worden geconstrueerd! Dit getallen'continuüm', dat is te vergelijken met het oneindige aantal inktpuntjes waarin een lijnstuk kan worden verdeeld, is niet te tellen en dus 'oneindiger' dan de verzameling gehele getallen.

Georg Cantor (1845 - 1918) publiceerde in 1873 de eerste systematische studie over oneindigheid.

"Cantor was doorgedrongen in regionen die nog nooit eerder door iemand waren verkend. Heel triest is dat de meeste zijn tijdgenoten zijn werk niet begrepen en zijn bevindingen belachelijk maakten. Vooral de onophoudelijke en door een ziekelijke jaloezie gedreven kritiek van zijn vroegere leermeester Leopold Kronecker waren slopend. De laatste jaren voor zijn dood in bracht Cantor door in een tehuis voor geesteszieken.

"Of dit alles is dat is te vertellen over oneindigheid? Bij lange na niet, want er bestaat ook zoiets als de Absolute Oneindigheid. Dat is de allerhoogste orde van de alefs, die in de wiskunde wordt voorgesteld door de Griekse hoofdletter omega. Het enige dat we tot nu toe met zekerheid daarover weten, zijn de eigenschappen die omega niet heeft. Het in kaart brengen van alle verschillende oneindigheden is dus nog niet ten einde."