I. Goniometrie

II.1� Booglengte, cirkelboog

Afbeelding 1 Cirkel rolt over lijn

Een cirkel met middelpunt M en straal R wordt gerold over een rechte lijn l. Dit is te vergelijken met een wiel dat over een vlakke weg rolt.

Eerst raakt de cirkel de lijn l in punt A

Als de cirkel over een hoek α gedraaid is raakt het punt C van de cirkel de rechte lijn in het punt B.

De lengte van het lijnstuk AB is dan gelijk aan de lengte van de cirkelboog AC.

De lengte van de cirkelboog AC hangt af van :

- de draaihoek α

- de straal R

Immers, als α groter wordt dan wordt de booglengte AC groter. Als de straal R groter wordt, dan wordt de lengte van de boog AC ook groter.

We stellen nu de vraag hoe de lengte van de boog AC afhangt van de draaihoek α en de straal R.

Daartoe maken we een tabel;

R	α	AC
0	0	0
0	α	0
R	0	0
R	360°	2π×R =omtrek cirkel
R	180°	π×R =halve omtrek
R	90°	½π×R =kwart omtrek

1

Voor een willekeurige hoek α en straal R geldt:

(kontroleer deze formule met de tabel)

Tot nu toe hebben we hoeken uitgedrukt in

graden: °

Een volledige omwenteling van het wiel komt overeen met een draaihoek van 360°. Dit getal 360 is in zekere zin willekeurig gekozen en dateert van duizenden jaren geleden. Er is ook nog een andere maat om hoeken uit te drukken: de radiaal. In de wiskunde werken we bij voorkeur met radialen in plaats van graden. De radiaal is zo gekozen dat als we hoek α in radialen uitdrukken in plaats van graden voor de booglengte AC geldt:

booglengte AC = α×R

ook: s = α×R.

Indien we de twee formules voor de booglengte vergelijken dan kunnen we konkluderen:

2

Door nu π = 3,1415927...

in te vullen gaat deze formule over in:

1 radiaal = 57,29578... °

Misschien ben je gewend hoeken uit te drukken in graden (90°= rechte hoek, enzovoort). Het gebruik van radialen biedt echter bepaalde voordelen zodat we vanaf nu alleen nog maar werken met radialen.

Afbeelding 2 Indien de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal van de cirkel (=R) dan is de middelpuntshoek precies 1 radiaal.

De radiaal is een betere maat voor hoekgrootte dan de graad omdat de lengte van de cirkelboog wordt vergeleken met de lengte van de straal. In een cirkel met straal R zouden we een touwtje kunnen leggen op een lijnstuk vanaf het middelpunt naar de cirkel, dit touwtje heeft dan lengte R (straal van de cirkel). Indien we ditzelfde touwtje nu langs de cirkelboog leggen, dan heeft de cirkelboog ook lengte R, de middelpuntshoek α is dan precies 1 radiaal.

Je kunt radialen omrekenen in graden (en omgekeerd) door te onthouden :

2π radialen = 360 °

Delen we links en rechts door 2π dan krijgen we

1 radiaal = 3= 57,29578... °

Delen we de eerste vergelijking links en rechts door 360 dan krijgen we

4

Door nu π = 3,1415927...

in te vullen gaat deze formule over in:

1°=0,0174532...(rad)

Indien we nogmaals een tabel maken van de booglengte AC voor enkele waarden van de hoek α dan blijkt het voordeel van de nieuwe hoekmaat : de radiaal

R	α	AC
0	0	0
0	α	0
R	0	0
R	2π	2π×R
R	π	π×R
R	½π	½π×R

II.3� rekenmachine

Op de rekenmachine zit een toets :

deg

1

mode

2

of

waarmee je de rekenmachine kunt instellen op het rekenen in graden of in radialen. Dit heeft alleen invloed op het rekenen met functies die gebruik maken van Hoekgrootte's, zoals

sin

3

tan

4

cos

5

en hun inverse functies:

tan^-1

6

cos^-1

7

sin^{- 1}

8

Om radialen om te rekenen in graden, of omgekeerd graden om te rekenen in radialen moeten we gebruik maken van de betrekking

π

9

π (rad) = 180 °

en van de toets:

Of de rekenmachine op graden of radialen staat ingesteld, maakt dan niets uit. Op de meest voorkomende rekenmachines is geen mogelijkheid aanwezig om graden en radialen rechtstreeks in elkaar uit te drukken. Op veel rekenmachines kunnen we wel een berekening invoeren met de K-toets. In het display van de rekenmachine zien we of we ingesteld hebben op graden of radialen.

rad

10radialen (radians)

deg

11graden (degrees)

II.4�a� Voorbeeld 1: omrekenen in radialen

Reken om in radialen:

α = 23° α = 42°

π

12

¸

13

180

14

=

15

´

16

´

17

· Rekenmachine:

TOETS IN :

K

0.0174532

18

In het display van de rekenmachine verschijnt nu:

23

19

=

20

Nu kunnen we intoetsen:

K

0.4014257

21

en krijgen we als antwoord:

zodat 23° » 0,40 (rad)

Vervolgens kunnen we iedere

gewenste waarde van α° intoetsen,

=

22

waarna een druk op de toets

de gewenste hoek in radialen geeft.

0.7330382

23

We toetsen nu

42

24

=

25

en krijgen:

zodat 42° » 0,73 (rad)

II.4�c� Voorbeeld 2 : omrekenen naar graden

Reken om in graden:

α = 1,5 rad α = 5,7 rad

· Rekenmachine

TOETS IN :

180

26

¸

27

π

28

=

29

´

30

´

31

K

57.29578

32

In het display van de rekenmachine verschijnt nu:

Nu kunnen we intoetsen:

=

33

1.5

34

K

85.943669

35

en krijgen we als antwoord:

zodat 1,5 (rad) » 85,9°

=

36

Vervolgens kunnen we iedere gewenste waarde van α (rad) intoetsen, waarna een druk op de toets

de gewenste hoek in graden geeft.

K

326,58594

37

We toetsen nu

5.7

38

=

39

en krijgen:

zodat 5,7 rad » 326,6°

Sommige hoeken kunnen zonder rekenmachine berekend worden, bijvoorbeeld:

90° = 5

60° = 6

45° = 7

30° = 8

Onthoud:

180° = π (rad)

II.5� sinus, cosinus, tangens in een rechthoekige driehoek.

In de Inleiding heb je geleerd:

in een rechthoekige driehoek geldt:

sin α = aanliggende zijde

schuine zijde

cos α = overstaande zijde

schuine zijde

tan α = aanliggende zijde

overstaande zijde

Afbeelding 3 rechthoekige driehoek

Deze afspraak blijft gelden, maar we gaan in de volgende paragraaf de sinus, cosinus en tangens opnieuw invoeren. We willen een grafiek maken van sin α, cos α en tan α als functie van α (rad).

II.7� eenheidscirkel

Afbeelding 4 de eenheidscirkel

In afbeelding 64 is een eenheidscirkel getekend:

- een koördinatenstelsel met een

x-as en een y-as.

- een cirkel met straal = 1 en

met middelpunt (0 , 0) ()

- een punt P op de cirkel

De koördinaten van punt P zijn :

(x_P , y_P)

De punt P wordt verplaatst over de eenheidscirkel.

Het punt P begint in het punt met koördinaten (1,0) , dat is x_P = 1 en y_P = 0

Het punt P draait linksom over de eenheidscirkel. De hoek α is :

de hoek tussen het lijnstuk van (0,0) naar (1,0) en het lijnstuk OP

steeds geldt :

-de koördinaten van punt P zijn (x_P , y_P)

-de lengte van het lijnstuk OP = straal van de cirkel

-de straal van de cirkel = 1

Afbeelding 5 de eenheidscirkel

-de punten O(0,0) (x_P,0)P(x_P,y_P)

vormen een rechthoekige driehoek

-de rechte hoek is bij het punt (x_P,0)

-de overstaande zijde van hoek α is het lijnstuk

van het punt (0,xP) naar P(xP,yP)

-de lengte van de overstaande zijde is y_P

-de aanliggende zijde van hoek α is het lijnstuk van het punt O(0,0) naar het punt (0,x_P)

-de lengte van de aanliggende zijde is x_P

In de eenheidscirkel hebben we nu voor iedere hoek α een rechthoekige driehoek gevormd met als schuine zijde het lijnstuk OP, en als aanliggende zijde het lijnstuk tussen het punt (0,0) en (x_p,0) en als overstaande zijde het lijnstuk van het punt (x_p , 0) naar het punt P

Omdat we in een eenheidscirkel werken, geldt dat de straal = lengte van lijnstuk OP = schuine zijde = 1.

Daarom geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

9

Vanaf nu zullen we deze formules gebruiken als definitie van de functies :

f : α ® sin α

f : α ® cos α

f : α ® tan α

Hierbij is α de hoek, uitgedrukt in radialen.

We kunnen nu ook voor hoeken die groter zijn dan radialen de sinus en cosinus berekenen, ja zelfs hoeken die groter zijn dan π radialen (180°), 2π radialen (360°) of willekeurig grote hoeken. Anderzijds kunnen we ook spreken over negatieve waarden van de (draai-)hoek, dit stemt overeen met rechtsom draaien op de eenheidscirkel. Ga na dat geldt:

P (xP,yP)	α	xP=cos α	yP=sin α	=tan α
(1,0)	0	1	0	0
(0,1)		0	1	kan niet
(-1,0)	π	-1	0	0
(0,-1)	1½π	0	-1	kan niet
(1,0)	2π	1	0	0
(0,1)	2½π	0	1	kan niet
(-1,0)	3π	-1	0	0
(0,-1)	3½π	0	-1	kan niet
(1,0)	4π		0	0
...	...	...	...	...
...	...	...	...	...
...	...	...	...	...
...	...	...	...	...
(1,0)	0	1	0	0
(0,-1)	-½π	0	-1	kan niet
(-1,0)	-π	-1	0	0
(0,1)	-1½π	0	1	kan niet

Afbeelding 6 de eenheidscirkel, de middelpuntshoek α ,het punt P (x_P ,y_P) en de projecties van P op de x-as en de y-as.

II.9� VRAGEN

1 Lees onderstaande beweringen goed door

I een cirkel met straal R en middelpuntshoek α (rad) heeft de cirkelboog lengte αR.

II Een hoek van α radialen betekent altijd:

0 £ α £ 2π

a I. en II. zijn beide juist

b Alleen I. is juist

c Alleen II. is juist

d I. en II. zijn beide onjuist

2 a reken om in radialen:

30° 45° 60° 17° -2,5°

b reken om in graden: ½π ¾π ¼π ¼π 2 (rad)

7

3 Aan een katrol hangen 2 blokjes. De straal van het wiel is 0,2 m . Men verplaatst het ene blokje 2 meter omhoog, het andere blokje gaat dan twee meter omlaag. Bereken de draaingshoek van het wiel.

4 Bereken met een rekenmachine:

53° = (rad)

1,29 rad = °

112° = (rad)

0,3 (rad) = °

5 neem de tabel aan het begin van dit hoofdstuk over en maak daarin een extra kolom met daarin de hoek α uitgedrukt in radialen.

Konklusie?

1� Bereken met een rekenmachine (op rad zetten)

sin 0,5

cos 0,5

tan 0,5

sin 0,25

cos 0,25

tan 0,25

sin 0

cos 0

tan 0

sin 0,1

cos 0,1

tan 0,1

sin 0,01

cos 0,01

tan 0,01

sin 1

cos

1

tan 1

sin π

cos π

tan π

sin 2π

cos 2π

tan 2π

sin 3π

cos 3π

tan 3π

sin 4π

cos 4π

tan 4π

sin 2

cos 2

tan 2

sin 3

cos 3

tan 3

sin -1

cos -1

tan -1

enzovoort

`Afbeelding 8 draaihoek α

II.11� Draaihoek

Het punt P wordt over de eenheidscirkel verplaatst. Het punt P begint in het punt (1,0) en draait linksom over de cirkel. Als het punt P opnieuw in het punt (1,0) aankomt, geldt voor de draaihoek α:

α = 2π

Afbeelding 9 α > 2π

Draaien we nog verder rond dan wordt de draaihoek groter dan 2π.

Als we beginnen in punt (1,0) en we draaien rechtsom in plaats van linksom over de eenheidscirkel , dan spreken we af dar de draaihoek α dan negatief wordt. Als P opnieuw in het punt (1,0) aankomt bij rechtsom draaien, dan geldt voor de draaihoek α:

α = -2π

II.13� De sinusfunctie

Op deze wijze kunnen we een grafiek maken met als onafhankelijke variabele de draaihoek α (rad) en afhankelijke variabele de sinus van α:

Afbeelding 10 f(x)=sin x , D_f=[0,½π] , B_f=[0,1]

y_P = sin α

Daartoe trekken we horizontaal een α-as waarop we de lengte van de cirkelboog α uitzetten. Vertikaal zetten we dan de waarde y_P, = de lengte van het lijnstuk van O(0,0) naar punt (0,y_P) = sin α.

In onderstaande afbeelding is voor 0 £ α £ ½π

weergegeven de grafiek van

13

Merk op dat geldt:

α = 0sin 0 = 0

α = ½πsin ½π = 1

II.15� De cosinusfunctie

Afbeelding 11 f(x)=cos x , D_f=[0,½π], B_f=[0,1]

Op soortgelijke wijze kunnen we een grafiek tekenen met als onafhankelijke variabele de draaihoek α (rad) en afhankelijke variabele de cosinus van α:

x_P = cos α

In bovenstaande afbeelding is voor 0 £ α £ ½π

weergegeven de grafiek van

14

Merk op dat geldt:

α = 0 cos 0 = 1

α = ½π cos ½π = 0

II.17� De tangens functie

Om de grafiek van de functie

f : α ® tan α

Afbeelding 12 tan α = lijnstuk (1,0) naar Q

te tekenen moeten we anders te werk gaan dan bij het tekenen van de grafieken van de functies sinus en cosinus.We kunnen namelijk de waarde

niet rechtstreeks aflezen uit de eenheidscirkel zoals bij de functies sinus en cosinus wel het geval was.

Met behulp van de volgende werkwijze krijgen we bij iedere hoek α een lijnstuk met een lengte gelijk aan de tangens van α (afbeelding 74).

Vanuit het punt (1,0) wordt evenwijdig aan de y-as een raaklijn getrokken aan de eenheidscirkel.

Verleng nu het lijnstuk OP tot we deze raaklijn snijden in het punt Q.

We hebben nu twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken gemaakt:

-een driehoek gevormd door de punten O, (x_P,0), P

-een driehoek gevormd door de punten O, (1,0), Q

Deze driehoeken zijn gelijkvormig want ze hebben hoek α gemeenschappelijk en ze hebben beide een rechte hoek.

Daarom geldt

zodat

tan α = lengte van lijnstuk van punt (1,0) naar Q = lengte van raaklijnstuk. (Het woord tangens betekent :rakend)

Nu kunnen we de grafiek van

f: α ® tan α

tekenen. Daartoe trekken we horizontaal een α-as waarop we de lengte van de cirkelboog α uitzetten. Vertikaal zetten we dan de lengte van het lijnstuk van O(0,0) naar punt (0,y_P), dat is precies de waarde van tan α.

In onderstaande afbeelding is voor 0 £ α £ ½π

weergegeven de grafiek van

f: α ® tan α

merk op dat geldt:

Afbeelding 13 f(α)=tan α D_f=[0,½π> B_f=[0,¥>

α = 0tan 0 = 0

α = ½πtan ½π =

kan niet, tan ½π ÏÅ

Uit de definitie van de tangens:

17

volgt dat deze functie voor sommige waarden van α niet bestaat. Voor alle punten P op de eenheidscirkel waarvoor geldt dat

x_P = 0

bestaat de functie

18

niet.(delen door 0 mag niet).

Dat is het geval als geldt:

α =

α =

α =

α =

α = ....

en ook voor :

α =

α =

α =

α =

α =

...

Net zoals bij de hyperbool

f : x ® 1

x

spreken we bij de functie

f : α ® tan α

van asymptoten van de tangensfunktie met vergelijking:

α =

α =

α = 31

α = 32

α =

....

en ook voor :

α =

α =

α =

α =

α =

...

Dit zijn de vergelijkingen van vertikale lijnen waartoe de grafiek van f : α ® tan α nadert voor waarden van α in de buurt van deze getalwaarden.

In de java-applet sin-cos-tan is het mogelijk de definities van de sinus, cosinus en tangens functies te bekijken aan de hand van de draaiingshoek in de eenheidscirkel en de bijbehorende functiewaarde

java applet Sinus Cosinus Tangens
II.19� VRAGEN

1� Het punt P doorloopt de eenheidscirkel. De draaiingshoek is positief, het beginpunt is (1,0)

a Geef de koördinaten van P als het punt een afstand 1 heeft afgelegd

b Geef ook de koordinaten als het punt P een afstand 2/3π heeft afgelegd

c Het punt Q doorloopt een cirkel met straal 3. De draaiingshoek is positief, het beginpunt is (3,0). Bereken de koordinaten van Q als het punt Q over een hoek 1,25π radialen gedraaid is.

d Geef ook de lengte van de cirkelboog uit vraag c

II.21� Formules met sinus, cosinus en tangens

Met behulp van de eenheidscirkel is het mogelijk om een diverse formules af te leiden voor de sinus, cosinus en tangens functie.

Voorbeeld 1

Afbeelding 14 α in II

In bovenstaande afbeelding ligt het punt P in het tweede kwadrant, zoals gewoonlijk geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

We spiegelen het punt P nu ten opzichte van de y-as en krijgen zo het punt P'

De hoek tussen OP' en de positieve x-as noemen we β.

Uit de tekening blijkt dat de twee gearceerde driehoeken kongruent zijn; de hoek tussen OP en de negatieve x-as is dus ook β

De hoeken α en β vormen samen een gestrekte hoek (π radialen = 180°)

Er geldt:

α + β = π (rad)

oftewel

β = π - α

De koordinaten van het punt P' zijn:

P' (x_p',y_p')

zodat geldt voor de hoek β

x_p' = cos β

y_p' = sin β

Omdat we het punt P' verkregen hebben door het punt P te spiegelen ten opzichte van de y-as geldt:

x_p' = -x_p

y_p' = y_p

We konkluderen nu

cos β = -cos α

sin β = sin α

cos (π - α) = - cos α

sin (π - α) = sin α

40

We hebben nu aangetoond dat geldt:

Afbeelding 15 α in III

Voorbeeld 2

In onderstaande afbeelding ligt het punt P in het derde kwadrant, zoals gewoonlijk geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

We spiegelen het punt P nu ten opzichte van de oorsprong en krijgen zo het punt P'

De hoek tussen OP' en de positieve x-as noemen we β.

De hoek tussen OP en OP' vormt een gestrekte hoek (π radialen = 180°)

Er geldt:

α = β + π

oftewel

β = α - π

De koordinaten van het punt P' zijn:

P' (x_p',y_p')

zodat geldt voor de hoek β

x_p' = cos β

y_p' = sin β

cos (α - π) = - cos α

sin (α - π) = - sin α

41

Omdat we het punt P' verkregen hebben door het punt P te spiegelen ten opzichte van de oorsprong O(0,0) geldt:

x_p' = -x_p

y_p' = -y_p

We konkluderen nu

cos β = - cos α

sin β = - sin α

We hebben nu aangetoond dat geldt:

Afbeelding 16 α in IV

Voorbeeld 3

In bovenstaande afbeelding ligt het punt P in het vierde kwadrant, zoals gewoonlijk geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

We spiegelen het punt P nu ten opzichte van de x-as en krijgen zo het punt P'

De hoek tussen OP' en de positieve x-as noemen we β. Uit de tekening blijkt : de hoek tussen OP en de negatieve x-as is dus ook β. De hoeken α en β vormen samen een hoek van 2π radialen = 360°

Er geldt:

α + β = 2π (rad)

oftewel

β = 2π - α

De koordinaten van het punt P' zijn:

cos (2π - α) = cos α

sin (2π - α) = -sin α

42

P' (x_p',y_p')

zodat geldt voor de hoek β

x_p' = cos β

y_p' = sin β

Omdat we het punt P' verkregen hebben door het punt P te spiegelen ten opzichte van de x-as geldt:

x_p' = x_p

y_p' = -y_p

We konkluderen nu

Afbeelding 17 α , -α

cos β = cos α

sin β = -sin α

We hebben nu aangetoond dat geldt:

Voorbeeld 4

In bovenstaande afbeelding ligt het punt P in het eerste kwadrant, zoals gewoonlijk geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

We spiegelen het punt P nu ten opzichte van de x-as en krijgen zo het punt P'

De hoek tussen OP' en de positieve x-as is dan gelijk aan -α.

De koordinaten van het punt P' zijn:

P' (x_p',y_p')

zodat geldt voor de hoek - α

cos (- α) = cos α

sin (- α) = -sin α

43

x_p' = cos (- α)

y_p' = sin (- α)

Omdat we het punt P' verkregen hebben door het punt P te spiegelen ten opzichte van de x-as geldt:

x_p' = x_p

y_p' = -y_p

We konkluderen nu

cos (- α) = cos α

sin (- α) = - sin α

We hebben nu aangetoond dat geldt:

Voorbeeld 5

Gegeven het punt P (x_p,y_p) in het tweede kwadrant

Afbeelding 18 complementaire hoeken

zoals gewoonlijk geldt:

sin α = y_p

cos α = x_p

Vanuit het punt O trekken we een lijn loodrecht op de lijn OP; deze loodlijn snijdt de cirkel in punt Q .

De hoek tussen OQ en de positieve x-as is dan gelijk aan β.

Omdat OQ ^ OP

geldt:

β + ½π = α

β = α - ½π

De twee driehoeken zijn kongruent; immers beide driehoeken hebben een rechte hoek = ½π , een hoek met grootte β en een schuine zijde met lengte = 1

de koordinaten van het punt Q zijn:

Q (x_Q , y_Q )

zodat geldt voor de hoek β

x_Q = cos β

y_Q = sin β

We kunnen konkluderen dat

x_Q = y_p

y_Q = -x_p

Zodat geldt:

cos β = sin α

sin β = - cos α

cos (α - ½π) = sin α

sin (α - ½π) = - cos α

cos (α - ½π) = sin α

sin (α - ½π) = -cos α

44

II.23� De grafieken van de functies sinus, cosinus en tangens

In het voorafgaande hebben we een aantal voorbeelden besproken van formules die blijken te gelden voor de sinus en cosinus functie. Daarbij hebben we gebruik gemaakt van de eenheidscirkel. Het is niet nodig om deze formules uit het hoofd te leren; indien nodig kan beter een tabellenboek geraadpleegd worden. Voor de volledigheid hebben we laten zien hoe dergelijke formules verkregen kunnen worden. Op dit moment kunnen we deze formules toepassen op het verder uitwerken van de grafieken van de functies sinus, cosinus en tangens.

In de eerste paragraaf hebben we de grafiek van sinus, cosinus en tangens al gegeven voor hoeken α Î [0,½π]

Uit de eerder gevonden formules kunnen we nu afleiden dat hiermee de grafiek van sinus, cosinus en tangens gevonden kan worden voor alle α Î Å.

Bijvoorbeeld: uit cos x = -cos (π-x)

sin x = sin (π - X)

volgt : als we een x nemen in [0,½π] dan is π - x in [½π,π], de sinuswaarden zijn dan gelijk en de cosinuswaarden tegengesteld. Dan kunnen we ook de grafiek tekenen in [½π,π]. Evenzo kunnen we de andere formules gebruiken om op soortgelijke wijze konklusies te trekken voor andere kwadranten.

II.24�a� f(x)=sin x

In onderstaande afbeeldingen zijn getekend de grafieken van de functies

f(x) = sin x

met als domein:

D_f=[0,][0,2π][-4π,4π][-6π,6π][-8π,8π] enz.

Afbeelding 19 y=sin x D=[0,2π]

Afbeelding 20 f(x)=sin x D_f=[0,½π]

Afbeelding 23 f(x)=sin x D_f=[-2π,2π]

Afbeelding 21 f(x)=sin x D_f= [-4π , 4π]

Afbeelding 22 f(x)=sin x D_f= [-6π , 6π]

Afbeelding 24 f(x)=sin x D_f= [-8π , 8π]

Afbeelding 25 f(x)=sin x D_f= [-16π , 16π]

II.24�c� f(x)=cos x

Voor de grafiek van de cosinus geven we nu ook de grafiek voor verschillende waarden van het domein:

Afbeelding 26f(x)=cos x D_f = [0,½π]

Afbeelding 27 f(x)=cos x D_f = [0,2π]

Afbeelding 28 f(x)=cos x D_f = [-2π,2π]

De sinus en de cosinusgrafiek hebben precies dezelfde vorm. Door de cosinus grafiek een half pi naar rechts te schuiven ( of door de sinus grafiek een half pi naar links te schuiven) vallen beide grafieken precies op elkaar. In dit verband spreekt men ook over een faseverschil van een half pi.

Afbeelding 29 f(x)=cos x D_f = [-4π,4π]

Afbeelding 30 f(x)=cos x D_f = [-6π,6π]

De grafieken van sinus en cosinus zijn beide 2π‑periodiek. In formule geschreven:

Afbeelding 32 f(x)=tan x D_f=[-½π,½π]

Afbeelding 33 f(x)=tan x D_f=[-½π,½π]

II.24�e� f(x)=tan x

Afbeelding 31 f(x)=cos x D_f = [-16π,16π]

Afbeelding 34 f(x)=tan x D_f=[-π,π]

Vervolgens geven we de grafiek van de tangens functie voor verschillende waarden van het domein.

Voor de tangens functie geldt:

de tangens heeft periode pi.

Afbeelding 35 f(x)=tan x D_f=[-1,5π,1,5π]

35

Afbeelding 36 f(x)=tan x D_f=[-2π,2π]

Afbeelding 37 f(x)=tan x D_f = [-3½π,3½π]

II.25� VRAGEN

1 Bereken :

a sin (π/6)

b sin (5π/6)

c sin (7π/6)

d sin (11π/6)

e sin (13π/6)

f sin (-π/6)

2 Bereken :

a cos (π/3)

b cos (2π/3)

c cos (4π/3)

d cos (5π/3)

e cos (7π/3)

f cos (-π/3)

g cos (-2π/3)

3 Bereken:

a tan (π/4)

b tan (3π/4)

c tan (5π/4)

d tan (7π/4)

e tan (-π/4)

f tan (-3π/4)

g tan (-5π/4)

4 Toon met behulp van een eenheidscirkel aan:

sin (-α) = - sin (α)

cos (-α) = cos (α)

tan (-α) = - tan (α)

45

5 Ga na wat de eerder in dit hoofdstuk afgeleide formules betekenen voor de grafieken van sinus en cosinus.

6Teken de grafieken van sinus, cosinus en tangens voor domein [-3π,π]

II.27� Periodieke Functies

Afbeelding 38 y=sin x ;periode=2π

We bekijken opnieuw de grafiek van

f : x ® sin x

In bovenstaande afbeelding is de grafiek van deze functie getekend op het interval

[ -2π,2π].

Kijk naar bovenstaande afbeelding om na te gaan dat de sinusfunktie een periodieke functie is met periode T = 2π.

Een punt van de grafiek is :

x=-1½π y = 1

Het eerstvolgende punt rechts hiervan met

y = 1

is het punt:

x = ½π y = 1

Enkele paren andere punten van de grafiek , die dezelfde y-waarde hebben zijn weergegeven in volgende tabel en tevens met stippellijnen weergegeven in de bovenstaande afbeelding. De periode van de sinusfunktie is 2π; dit is het kleinste[1] positieve getal T waarvoor geldt dat voor alle waarden van x geldt

f(x+T) = f(x)

In de tabel blijkt inderdaad dat

f(x + 2π) = f(x)

voor de daar berekende waarden van x.

x	y
-1½π	1
½π	1
-1¼π	½Ö2
¾π	½Ö2
-π	0
π	0
-¾π	-½Ö2
1¼π	-½Ö2
-½π	-1
1½π	-1

Ga na aan de hand van de afbeelding aan het begin van deze paragraaf dat dit voor alle waarden van x geldt. De lengte van de getekende stippellijnen is dus precies gelijk aan de periode:

T = 2π

Het domein van de functie is Å

Er geldt

f(0) = 0

f(½π) = 1

Voor x = ½π heeft f een plaatselijk maximum 1.

Voor x = 2½π heeft f ook een plaatselijk maximum 1

Evenzo heeft f een plaatselijk maximum voor

x = -1½π

In formule:

f(½π) = f(2½π)

f(-1½π) = f(½π)

In feite geldt voor alle punten

.....,-3½π,-1½π,½π,2½π,4½π,.....

dat f de waarde 1 aanneemt

Evenzo geldt voor alle punten

....,-3½π,-1½π,½π,2½π,4½π,.....

dat f de waarde -1 aanneemt (minimale waarde)

Er geldt dus:

....=f(-3½π)=f(-1½π)=f(½π)=f(2½π)=f(4½π)=.....=1

en ook

....=f(-3½π)=f(-1½π)=f(½π)=f(2½π)=f(4½π)=....=-1

We hebben nu gezien dat voor

x = ½π

de vergelijking

f(x + 2π) = f(x)

overgaat in

f(½π + 2π) = f(½π)

Willen we voor alle genoemde punten met

y waarde = 1

een vergelijking opstellen dan kunnen we noteren:

f( ½π + k° 2π) = 1

met k Î Í

Evenzo kunnen we noteren voor alle punten met

y-waarde = -1

f(1½π + k° 2π) = -1

met k Î Í

43

Hierbij is

Í = { .... ,-4 , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ..... }

(zie Getal verzamelingen, getallenlijn)

Deze eigenschap is niet beperkt tot de punten waar de sinus zijn maximum of minimum heeft, maar gelden in feite voor alle x :

f(x) = f(x + k° 2π)

met k een geheel getal k Î Í.

II.29� VRAGEN

II.30�a� Open vragen

1 Bereken met een rekenmachine.

maak de volgende tabel af:

α sin α

2 Bereken met een rekenmachine.

maak de volgende tabel af:

α cos α

3 Bereken met een rekenmachine

maak de volgende tabel af:

α tan α

4a Teken in drie verschillende figuren de grafieken van

f(x) = sin x

g(x) = cos x

h(x) = tan x

b zet op de x-as de waarden voor x (=α)uit som 1,2,3.

c teken de drie grafieken ook in een figuur.

5 Wat is de periode van de functie

f(x) = sin x

6 Wat is de periode van de functie

f(x) = cos x

7 Wat is de periode van de functie

f(x) = tan x

8 Schrijf de periodiciteitsvoorwaarde op voor de funkties:

f(x) = sin x

g(x) = cos x

h(x) = tan x

B geef de periodiciteit ook weer met een vergelijking waarin k Î Í.

II.30�c� Meerkeuze vragen

1 De periode van f(x) = tan 2x is:

2 De periode van f(x) = sin 2x is:

3 De periode van f(x) = cos 2x is:

4 De periode van

f(x) = tan ½x

is:

5 De periode van

f(x) = cos ½x is:

6 De periode van f(x) = sin ½x is:

II.31� Inverse functie en rekenmachine

In de voorafgaande paragrafen is besproken hoe we uitgaande van een waarde voor x met behulp van een rekenmachine kunnen berekenen wat de waarde is van de functies:

y = sin x

y = cos x

y = tan x

We typen dan de waarde van x in op de rekenmachine , drukken op de desbetreffende funktieknop en in het display van de rekenmachine verschijnt de gezochte funktiewaarde(y).

Wat nu als we de omgekeerde vraag stellen, dat wil zeggen als we bij een gegeven y-waarde van een van de functies

y = sin x

y = cos x

y = tan x

vragen naar de bijbehorende waarde van x.

Deze vraag laat zich ook formuleren als:

gegeven een y-waarde van een van de goniometrische functies sinus x, cosinus x,tangens x

bepaal welke draaihoek x( = α, boog α) daarbij hoort.

Notatie:

x = sin^-1 y

x = cos^-1 y

x = tan^-1 y

Spreek uit: inverse sinus, inverse cosinus en inverse tangens of ook boogsinus, boogcosinus en boogtangens (latijn / engels: arc=boog).

Voorbeeld 1

bereken: sin^-1 2

TYP IN :

2

in het display verschijnt:

sin

48

E

49

inv

47

de afkorting voor: Error

hetgeen foutmelding is.

De vergelijking

sin x = 2

heeft immers geen enkele oplossing:

x Î de lege verzameling

Voor alle x Î Å geldt immers:

-1 £ sin x £ 1

Voor de cosinus geldt een soortgelijke ongelijkheid:

-1 £ cos x £ 1

Echter voor de tangensfunktie

f(x) = tan x

geldt geen beperking; B_f = Å

Als we invoeren

2

51

dan verschijnt in het display:

tan

52

inv

51

indien we de inverse functie gebruiken van sinus cosinus en tangens functie dan is bij inverse sinus en cosinus de input beperkt tot getallen tussen -1 en 1.

Bij de inverse tangens is alle invoer mogelijk.

De output wordt gegeven in radialen of graden.

54

1.1071487

53

De rekenmachine is gemaakt met in achtneming van volgende internationaal erkende wiskundige standaard:

Voor de inverse sinusfuctie sin^-1 is

het domein [-1,1] en het bereik [-½ π , ½π]

(in graden [-90° , 90°])

Voor de inverse cosinusfuctie cos^-1 is

het domein [-1,1] en het bereik [0 , π]

(in graden [0° , 180°] )

Voor de inverse tangensfunktie is

het domein D = Å en het bereik is [ -½π , ½π ]

In plaats van inverse sinus gebruikt men voor deze functie ook de naam arcsinus, afgekort arcsin of asin.

In plaats van inverse cosinus gebruikt men voor deze functie ook de naam arccosinus afgekort arccos of acos

In plaats van inverse tangens gebruikt men voor deze functie ook de naam arctangens afgekort arctan of atan

Voorbeeld 2

bereken sin^-1(-0,5) en cos^-1(-0,5)

TYP IN:

0,5 inv ± sin

dan verschijnt:

-0.5235988

60

TYP IN:

0,5 inv ± cos

dan

2.0943951

66

(radialen).

II.33� VRAGEN

1� Ga na aan de hand van het behandelde in hoofdstuk 1 dat de inverse functies van de sinus, cosinus en tangens voldoen aan de eigenschappen die gelden voor functies.

2� Teken de grafiek van de inverse sinusfunktie met het eerder gegeven domein en bereik.

Doe hetzelfde voor de inverse tangens functie en de inverse cosinus.

3� Bepaal met behulp van de rekenmachine de waarde van α indien gegeven is :

a sin α = 0,1

b cos α = -0,2

c tan α = -10

d sin α = -0,7

e cos α = 1

f cos α = -1

g tan α = 1

h cos α = 0

4� bereken

a sin^-1(0,5) =

b cos^-1(-0,5) =

c cos^-1(0.1) =

d tan^-1 (12) =

e sin^-1 (-0,3) =

II.35� Algemene oplossing van de inverse goniometrische vergelijking

In de voorafgaande paragraaf is getoond hoe met de rekenmachine de inverse functie van sinus, cosinus en tangens te bepalen is. Als we op zoek zijn naar alle oplossingen van een vergelijking zoals bijvoorbeeld

sin x = ½

Afbeelding 39 y=sin x , y=0,5 op[0,π]

dan schiet de rekenmachine te kort.

De rekenmachine geeft immers maar een antwoord:

x = sin^-1 ½ = 0,5235987

Dit is ook:

x = 1/6 π

(ga dit na)

Indien wij alle oplossingen voor x willen weten van de vergelijking

sin x = ½

dan kunnen we twee zaken bedenken:

i uit de periodiciteit van de sinusfunktie volgt, dat elk geheel veelvoud van 2 π (= 6.2831853 = de periode) kan worden opgeteld of afgetrokken bij de door de rekenmachine bepaalde waarde.

ii als we de grafiek van y = sinus x bekijken op het interval [0,π] dan zien we dat er daar nog een tweede x bestaat met sin x = ½

namelijk x = 5/6 π

In afbeelding 99 is getekend de grafiek van de functies

f(x) = sin x

g(x) = ½

in het domein [0,π].

Het oplossen van de vergelijking

sin x = ½

komt neer op het vinden van snijpunten van de functies f en g.

In het domein [0,π] zijn dat de punten:

Omdat de sinusfunktie periodiek is met periode 2 π voldoen ook alle punten waarvoor de x-kordinaat gelijk is aan

81

82

met k Î Í , dat wil zeggen alle gehele veelvouden van 2π voldoen ook voor x.

als c Î Å een gegeven getal is waarvoor geldt

-1 £ c £ 1

dan is de volledige oplossing van de vergelijking

sin x = c als volgt te bepalen:

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = sin ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking sin x = c wordt nu gegeven door:

x = α + k2π

x = π - α + k2π

met k Î Í

67

We kunnen deze oplossing ook bepalen met een eenheidscirkel

Afbeelding 40

y = sin x en ook y = ½

Het lijnstuk Op maakt hoek α = 1/6 π met de positieve x-as

In het tweede kwadrant vinden we een lijnstuk met hoek π - α = π - 1/6 π = 5/6 π met de positieve x-as

Voor beide hoeken geldt:

sin (1/6π) = ½

sin (5/6π) = ½

Voor beide punten geldt:

we kunnen evenzogoed nog een volledige omwenteling (2π) rechtsom of linksom maken, dan vinden we weer dezelfde waarde voor de sinus (y-cordinaat van P)

De volledige oplossing voor x van de vergelijking

sin x = ½

is gegeven door:

83

84

met k Î Í = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ....}

Voor de cosinus en de tangens functie kunnen we op soortgelijke wijze te werk gaan. Alleen het resultaat wordt gegeven:

als c Î Å een gegeven getal is waarvoor geldt

-1 £ c £ 1

dan is de volledige oplossing van de vergelijking

cos x = c als volgt te bepalen:

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = cos ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking cos x = c wordt nu gegeven door:

x = α + k2π

x = - α + k2π

met k Î Í

68

als c Î R een gegeven getal is dan is de volledige oplossing van de vergelijking

tan x = c

als volgt te bepalen:

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = tan ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking tan x = c wordt nu gegeven door:

x = α + kπ

met k Î Z

69

II.37� VRAGEN

II.38�a� open vragen

1� a�Ga met behulp van de grafiek van de cosinusfunktie na wat de oplossing is van de vergelijking :

cos x = ½

b�Ga ook met behulp van de eenheidscirkel na welke oplossingen de vergelijking cos x = ½ heeft.

2�a�Ga met behulp van de grafiek van de sinusfunktie na wat de oplossing is van de vergelijking :

sin x = ½Ö2

b�Ga ook met behulp van de eenheidscirkel na welke oplossingen de vergelijking sin x=½Ö2 heeft.

3�a�Ga met behulp van de grafiek van de tangensfunktie na wat de oplossing is van de vergelijking :

tan x = Ö3

b�Ga ook met behulp van de eenheidscirkel na welke oplossingen de vergelijking tan x= Ö3 heeft.

3 De tangens functie heeft periode π

beschouw eerst het interval [-π/2 , π/2].

Ga met behulp van de grafiek na dat een vergelijking tan x = c voor iedere waarde van de constante c precies een oplossing heeft. Teken daartoe een koordinatenstelsel met het gegeven domein, de grafiek van de tangens functie en de grafiek van de een constante functie ( horizontale lijn). Konkludeer vervolgens uit de periodiciteit van de tangens dat de volledige oplossing (als het domein =Å ) gegeven wordt door het tekstkader op de vorige bladzij.

4� Teken in een figuur de grafieken van de functies:

f(x) = cos x

g(x) = ½Ö2

op het interval [0 , 2π]

abepaal de koordinaten van de snijpunten van f en g

bwat is de volledige oplossing van de vergelijking:

cos x = ½Ö2voor x Î Å

5� teken een eenheidscirkel met daarin twee hoeken:

α₁ = π/4

α₂ = -π/4

a bepaal cos α₁

b bepaal cos α₂

c geef de oplossing van de vergelijking:

cos x = ½Ö2voor x Î Å

6� Teken in een figuur de grafieken van de functies

f(x) = tan x

g(x) = _Ö3

en los op :

f(x) = g(x)voor x ÎÅ

7� In afbeelding 101 , ... , afbeelding 104 zie je grafieken die horen bij periodieke funkties. Geef bij elke afbeelding het funktievoorschrift.

Afbeelding 41 Bepaal het funktievoorschrift

Afbeelding 42 Bepaal het funktievoorschrift

Afbeelding 43 Bepaal het funktievoorschrift

Afbeelding 44 Bepaal het funktievoorschrift

8�Geef voor

twee waarden van α als

sin α = 0,6 cos α = -0,4 sin α = -0,3

II.38�c� Meerkeuzevragen

1� De oplossing van de vergelijking

sin x = sin (-π/6) is

87

2�Wat is de volledige oplossing van cos x = 0,5?

91

92

3�De volledige oplossing van tan x = 1 voor

x Î Åluidt:

93

94

9596

4�Geef de volledige oplossing van de vergelijking

4 sin x = -2

97

98

99

100

II.39� De sinus en cosinus functie als golven

Het belang van de sinus en cosinusfunktie ligt er in dat het mogelijk is om alle soorten trillingen of golven te beschrijven met behulp van de functies sinus en cosinus. Zie ook :

We hebben al gesproken over de periode van de sinus en cosinus functie. deze wordt gewoonlijk T genoemd T = 2 π

In de praktijk heeft ook het omgekeerde van de periode een naam:

de frequentie

de maximale en de minimale waarde van sinus en cosinus functies

zijn 1 en -1.

y_max=1

y_min=-1

Het midden tussen de minimale en de maximale waarde heet de evenwichtsstand van de sinus of cosinus functie.

De evenwichtsstand van de sinus en cosinus functie is

y = 0

Onder de Amplitude van de sinus of cosinus functie verstaan we de afstand van het maximum of minimum tot de evenwichtsstand.

(de amplitude is altijd positief)

II.40�a� Voorbeeld 1

gegeven de functie

f(x) = 2 cos (3x) + 1

bepaal de amplitude van deze functie; bepaal ook de evenwichtsstand, de periode,

Antwoord:

de amplitude is:

A = 2

De evenwichtsstand is

y = 1

Immers, wat we ook invullen voor x, de waarde van cos 3x ligt

tussen -1 en 1. Het bereik van f is dan

[-1,3]

De evenwichtsstand (offset) is dan 1 en de amplitude 2

om de periode te bepalen gaan we als volgt te werk:

de periode van sin x is 2 π zoals bekend.

los op

3x = 0 Þ x = 0

3x = 2π Þ x = _π

dus de periode is _π

Als x = _π dan geldt

sin (3°_π) = sin 2π = 0

en heeft de sinus een volledige periode afgelegd vanaf x = 0

We kunnen ook denken aan een staande golf zoals bijvoorbeeld een trillende snaar. Denk ook aan een brug op peilers.

(zie )

de functie

f(x) = A sin kx

heeft amplitude A, evenwichtsstand = 0 en

golflengte = periode =

de grootheid k heet het golfgetal

Als de eenheid van x meter [m] is

dan is de eenheid van k: per meter [1/m]

Afbeelding 45 Ruis

Wat achter de functie sinus staat heeft dus altijd de dimensie van een getal zonder eenheid. Dit geldt voor alle goniometrische funkties

Tenslotte nog een toepassing van sinus en cosinus funkties. Bovenstaande afbeelding toont een signaal met ruis. Dergelijke signalen zijn met behulp van wiskundige technieken te ontleden in een spektrum van sinusfunkties (of desgewenst cosinusfunkties).

De functie

f(t) = A sin ωt

heeft de volgende interpretatie:

t = tijd in sekonde die verstreken is vanaf tijdstip t = 0

f is een functie van de tijd, de eenheid van f is gelijk aan de eenheid van A, de amplitude van de trilling. Dit kan een grootheid zijn met een dimensie lengte ( eenheid [meter]) zoals bij een trillend voorwerp, maar ook kan men denken aan een grootheid met een eenheid gelijk aan die van de elektrische of magnetische veldsterkte. Ook kan men denken aan de amplitude als de maximale uitwijking van de trillende luchtmolekulen in een geluidsgolf. Men noemt de grootheid ω de hoekfrequentie (eenheid: [radialen/sekonde]). Er geldt:

ω = 2πf

met f de frequentie (eenheid [1/s]=[Hertz])

Voor de periode van deze sinus geldt:

T = 1/f

de Trillingstijd T heeft als eenheid sekonde [s] en is de tijd nodig voor een volledige trilling

70

II.41� VRAGEN

1�Gegeven de periodieke funkties:

103

Geef van elk van deze funkties de amplitude en de frekwentie.

2� gegeven de functie:

g(x) = 1 - cos (2πx)

a bepaal de evenwichtsstand van g

b bepaal de maximale en de minimale waarde van g

c bepaal de amplitude van g

d bepaal de periode (golflengte) van g

3� Gegeven:

f(x) = 50 sin (25x)

a bepaal de evenwichtsstand van g

b bepaal de maximale en de minimale waarde van g

c bepaal de amplitude van g

d bepaal de periode (golflengte) van g

4� gegeven de functie :

f(x) = 4 cos (4πx) + 4

a bepaal de evenwichtsstand van g

b bepaal de maximale en de minimale waarde van g

c bepaal de amplitude van g

d bepaal de periode (golflengte) van g

5� gegeven de functie

Afbeelding 46 bepaal de functie

f(x) = tan (πx)

a bepaal de evenwichtsstand van g

b bepaal de maximale en de minimale waarde van g

c bepaal de amplitude van g

d bepaal de periode (golflengte) van g

6�gegeven onderstaande grafiek. Bepaal het funktievoorschrift,de evenwichtsstand,de Amplitude en de periode .

7�De volgende functies zijn voorbeelden van zogenaamde zaagtand functies Gegeven de

volgende grafieken.

Bepaal steeds:

i De evenwichtsstand

ii De Amplitude

iii De periode

Afbeelding 47

Afbeelding 48

Afbeelding 49

Afbeelding 50

Afbeelding 51

Afbeelding 52

Afbeelding 53

8�De volgende functies zijn voorbeelden van zogenaamde blok functies.

Gegeven de volgende grafieken.

Bepaal steeds:

i De evenwichtsstand

ii De Amplitude

Afbeelding 54

iii De periode

Afbeelding 55

Afbeelding 56

9�De volgende functies zijn voorbeelden van periodieke functies Gegeven de

volgende grafieken.

Afbeelding 57

Bepaal steeds:

i De evenwichtsstand

ii De Amplitude

iii De periode

Afbeelding 58

Afbeelding 59

Afbeelding 60

Afbeelding 61

Afbeelding 62

Afbeelding 63

Afbeelding 64

10�De volgende afbeelding is geen grafiek van een periodieke functie

Kun je toch iets zeggen over de evenwichtsstand en de amplitude?

Meet de afstand tussen twee toppen (met een centimeter). Welke betekenis heeft dit getal?

Afbeelding 65 willekeurige trilling

II.43� De functies sin² x cos² x en tan ² x

II.44�a� grafieken

Als we de functie

y = (sin x)²

bedoelen dan wordt dit genoteerd als

y = sin² x

Omdat voor alle getallen x geldt:

-1 £ sin x £ 1

volgt hieruit:

0 £ sin² x £ 1

Om de grafiek te tekenen van

y = sin² x

maken we een tabel, gebruik makend van de eerder verkregen waarde van de functie y = sin x

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sin x	0	1/2	½Ö2	½Ö3	1
sin^2 x	0	1/4	½	¾	1

Afbeelding 66 y=sin² x D=[-2π,2π]

In de tabel is voor alle x Î [0 , π/2 ] het resultaat weergegeven ; deze resultaten laten zich gemakkelijk uitbreiden naar andere waarden van x.

In bovenstaande afbeelding is de grafiek getekend van de functie

y = sin² x

Merk op dat geldt:

de periode = π

het minimum = 0

het maximum = 1

De evenwichtsstand = ½

De amplitude = ½

Afbeelding 67 y=cos² x D=[0,4π]

In de volgende afbeeldingen zijn gegeven :

de grafiek van y = cos² x :

Afbeelding 68 y=tan² x D=[-1,5π , 1,5π]

en van de functie

y = tan² x

II.44�c� Pythagoras

Bekijk nogmaals de eenheidscirkel:

Afbeelding 69 Pythagoras in de eenheidscirkel

De koordinaten van punt P op de eenheidscirkel zijn

(x_p, y_p)

Uit de stelling van Pythagoras volgt:

x_p² + y_p² = 1

Dus geldt :

sin ² α + cos ² α = 1

Deze formule kan gebruikt worden om de waarde van de cosinus te berekenen aan de hand van de waarde van de sinus:

104

105

Algemeen

sin² x + cos² = 1

geldt voor alle x

II.45� VRAGEN

1�teken in een figuur de grafieken van

f(x) = sin² x

g(x) = cos² x

h(x) = 1

op het interval [0,2π]

2� Gegeven

sin x = 0,6

bereken :

cos x

tan x

3� gegeven :

tan² x = 1

Wat is de waarde van x?

4� gegeven:

cos x = 12/13

bereken sin x

5� los op in Å

sin ² x = 1/3

6� los op in Å

cos² x = 1

II.47� Eenparige cirkelbeweging

Een punt p voert een eenparige cirkelbeweging uit.

In natuurkunde voor de c-operator wordt behandeld:

de eenparig rechtlijnige beweging. Dat is beweging langs een rechte lijn, waarbij in gelijke tijdsduren een gelijke weglengte wordt afgelegd. Dit betekent dat de snelheid v een konstante is.

Zo is een eenparige cirkelbeweging een beweging langs een cirkel waarbij in gelijke tijdsduren een gelijke booglengte wordt afgelegd.

In dit geval is de hoeksnelheid ω konstant.

Het begrip hoeksnelheid verdient nog een toelichting. De eenheid van snelheid is [meter/sekonde]

De eenheid van hoeksnelheid is [radiaal/sekonde]

De grootte van de snelheid wordt weergegeven door de letter v.

Voor een eenparig rechtlijnige beweging geldt:

v = konstant,

s = de lengte van het lijnstuk dat doorlopen is in de tijd t vanaf t = 0.

De grootte van de hoeksnelheid wordt weergegeven door de letter ω .

Voor een eenparige cirkelbeweging geldt:

met ω = konstant,

α = de grootte van de doorlopen middelpuntshoek in

de tijd t vanaf t = 0.

Nog steeds geldt voor de grootte van de snelheid v bij de eenparige cirkelbeweging:

108

met v = konstant.

Nu is s = de lengte van de doorlopen cirkelboog in

de tijd t vanaf t = 0

Een wezenlijk verschil tussen eenparig rechtlijnige beweging en eenparige cirkelbeweging is dat de richting van de snelheid bij een eenparige rechtlijnige beweging gelijk blijft terwijl bij een eenparige cirkelbeweging de richting van de snelheid voortdurend verandert. De grootte van de snelheid blijft in beide gevallen gelijk.

Bij een cirkelbeweging kan de richting van de snelheid weergegeven worden door een pijl die raakt aan de cirkel; zie ook het onderwerp vektoren bij natuurkunde. De pijl verandert van richting, maar de lengte van de pijl blijft gelijk.

Bij de eenparig rechtlijnige beweging is de versnelling (accelleratie):

a=0 [meter/sekonde²]

bij de eenparige cirkelbeweging is de versnelling niet nul; hoewel de grootte van de snelheid gelijk blijft verandert de richting van de snelheid. De versnelling kan worden weergegeven door een pijl die steeds wijst naar het middelpunt van de cirkel. De grootte van de versnelling (=lengte van de pijl) is daarbij steeds gelijk aan:

Dit is een konstante omdat v en R konstant zijn. Men noemt deze versnelling de middelpuntzoekende versnelling. De afleiding van deze formule is voor gevorderden

De Nederlandse wis- en natuurkundige Christiaan Huygens was degeen die als eerste deze formule afleidde

Begint de beschrijving van de cirkelbeweging van punt P op tijdstip:

t = 0

dan zal de grootte van de doorlopen middelpuntshoek evenredig zijn met de tijd:

α = ω t

hierbij is ω konstant.

Na een tijdsduur T (=de periode van de cirkelbeweging) zal punt P opnieuw op dezelfde plaats terecht komen als in het begin.

Op de tijdstippen:

t = 0

t = T

t = 2T

t = 3T

enzovoort

zal punt P het beginpunt passeren.

Bij die tijdstippen kunnen we gemakkelijk opschrijven wat de middelpuntshoek α is:

t	α
0	0
T	2π
2T	4π

op het tijdstip

t = T

geldt

α = 2π

Invullen in de vergelijking

α = ω.t

levert

2π = ω.T

We konkluderen dat geldt voor de konstante hoeksnelheid ω :

110

Voor de lengte van de boog geldt:

s = αR

Hieruit volgt:

s = ωtR=ωRt

Voor de grootte van de baansnelheid v tijdens de cirkelbeweging kunnen we afleiden:

111

Hieruit volgt weer:

112

In plaats van periode spreken we over de frequentie van een cirkelbeweging:

113

De periode T is de tijd nodig om een hele cirkel af te leggen.De frekwentie (toerental) is het aantal malen per sekonde dat het punt ronddraait.In onderstaande tabel zijnde eenheden en grootheden van de cirkelbeweging op een rij gezet met de daarbijbehorende letter:

symbool	grootheid	eenheid
s	weglengte	[meter]
v	snelheid	[meter/sekonde]
a	versnelling	[meter/sekonde^2]
t	tijd	[sekonde]
T	periode	[sekonde]
f	frequentie	[1/sekonde]=[Hertz]
R	straal	[meter]
α	middelpuntshoek	[radialen]
ω	hoeksnelheid	[radialen/sekonde]

Tenslotte: de eenheid radiaal is gedefinieerd als maat voor de middelpuntshoek in een cirkelboog door de lengte van de boog te delen door de lengte van de straal. De eenheid radiaal kan dus ook geschreven worden als [radiaal]=[meter/meter]=[1].

Hieruit volgt dat de radiaal dus ook dimensieloos is, we kunnen de rad ook weglaten, bijvoorbeeld de hoeksnelheid is ook op te vatten als hoekfrequentie, eenheid [Hertz]=[1/sekonde]

70

II.49� VRAGEN

1� De kleine wijzer van een klok draait éénmaal rond in 12 uur. De hoeksnelheid bedraagt:

a�0,09.10^‑3 rad/sec

b�0,3600 rad/sec

c�1,45.10^‑4 rad/sec

d�1/800.π rad/sec

2� Een punt P ligt op een ronddraaiende schijf. De afstand van P tot het middelpunt bedraagt 0,5 m.

De schijf draait eenparig met een toerental van 2 omwentelingen per sekonde.

De baansnelheid van P bedraagt:

a�3,14 m/s

b�9,42 m/s

c�6,28 m/s

d�14,56 m/s

3� Iemand heeft een hartslag van 100 slagen per minuut. De frequentie is dan:

a�

b�

c�

d�

71

II.51� Toepassingen

Een belangrijke toepassing van het voorafgaande vinden we bij de opwekking van elektrische wisselspanning .

In de elektriciteitscentrale wordt energie omgezet in de draaibeweging van een rotor in een generator. In natuurkunde voor de B-operator is behandeld de wet van Faraday:

Afbeelding 72 massa/veer

In een spoel die zich bevindt in een veranderend magnetisch veld wordt een induktiespanning opgewekt. Door een spoel rond te draaien in een magneet veld (fietsdynamo) of door een magneet rond te draaien in een generator met spoelen (e;lektriciteitscentrale) kunnen we dit principe gebruiken voor het opwekken van wisselstroom.

een andere toepassing vinden we in de trillende veer.

Aan de veer hangt de massa m. Op de massa werken:

-de zwaartekracht

-de veerkracht

In rust geldt:

Afbeelding 73 uitwijking u massa/veer

u = 0

Hierbij is u de uitwijking.Als we de veer uitrekken door de massa naar beneden te trekken en los te laten, dan zal de massa gaan trillen rond de evenwichtsstand

u = o

De vergelijking voor de uitwijking u is dan :

u = A sin ωt

Waar bij

118

T is de periode van de trilling, dat wil zeggen de tijd nodig voor een volledige trilling (op en neer).

In dit model van een trilling is de wrijving verwaarloosd, die ervoor zorgt dat na lange tijd de trilling gedempt wordt zodat de veer weer tot rust kan komen.

Afbeelding 74 trilling = sinus

Indien we een stift bevestigen aan het midden van de trillende massa en een rol papier trekken langs de trillende stift dan zal de stift een sinusgrafiek tekenen op het de papierrol.

Afbeelding 75 ingeklemde staaf

Een andere toepassing is een snaar die ingeklemd is tussen twee vaste wanden. In plaats van een snaar kunnen we ook denken aan een staaf, plaat , balk of iets dergelijks.

Een sinusvormige golf kan optreden in de snaar mits de uiteinden op hun plaats blijven .Algemeen geldt:

119

voor n Î Á .

120

Voor de uitwijking geldt:

122

Dit kan men ook als volgt inzien:

123

121

De x-as kunnen we denken op de staaf.

Het linker uiteinde is

x = 0

het rechtereinde is:

x = L

Een sinusvormige trilling in de staaf wordt gegeven

door :

124

125

Voor x = 0 wordt dit:

Voor x = L moet ook gelden:

u = 0

126

zodat

127

De vergelijking sin (kL) = 0 heeft als oplossingen:

128

Afbeelding 76 eigentrilling, eerste orde of fundamentele

Dit stelsel van twee vergelijkingen laat zich schrijven als een vergelijking:

129

zodat geldt :

130

Men spreekt in dit verband over eigentrillingen van een systeem.

Hiervoor geldt

131

Afbeelding 77 eigentrilling, tweede orde

II.53� Samenvatting

f : x ® sin x

f : x ® cos x

f : x ® tan x

zijn periodieke functies

Voor de sinus functie en de cosinus functie geldt:

voor alle x

f(x) = f ( x + 2π )

f(x) = f ( x + 2π )

Het zijn 2π periodieke functies

Voor de tangensfunktie geldt

voor alle x

f(x) = f ( x + π )

Het is een π periodieke functie.

Algemeen geldt:

een functie heeft periode p als geldt

voor alle x

f(x) = f(x + p)

De periode p is het kleinste positieve getal waarvoor deze eigenschap geldt.

Als een periodieke functie een maximum en een minimum heeft, dan is de evenwichtsstand het midden tussen het maximum en het minimum.

De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het maximum ( of minimum)

-de vergelijkingen:

sin x = konstant

cos x = konstant

hebben alleen oplossingen als geldt:

-1 £ konstante £ 1

de vergelijking

tan x = konstant

heeft een oplossing voor iedere waarde van de konstante

sin x = c

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = sin ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking sin x = c wordt nu gegeven door:

x = α + k2π

x = π - α + k2π met k Î Í

71

tan x = c

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = tan ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking tan x = c wordt nu gegeven door:

x = α + kπ met k Î Í

73

cos x = c

-i bepaal eerst met de rekenmachine de waarde α waarvoor geldt

α = cos ^-1 c

-ii de volledige oplossing van de vergelijking cos x = c wordt nu gegeven door:

x = α + k2π

x = 2π - α + k2π met k Î Í

72

De functief (x) = A sin kx

heeft periode (golflengte) 132 en een amplitude A.

u = A sin kx k = 2π/λ
symbool	grootheid	eenheid
u	uitwijking	[meter]
A	amplitude	[meter]
k	golfgetal	[1/meter]
x	plaats	[meter]
λ	golflengte =periode	[meter]

u = A sin ωt ω = 2π/T = 2πf
symbool	grootheid	eenheid
u	uitwijking	meter
A	Amplitude	meter
ω	cirkelfrequentie (=hoekfreq)	[1/sekonde]
t	tijd	[sekonde]
T	Trillingstijd = periode	[sekonde]
f	frequentie	[1/sekonde]=[Hz]

Eenparige cirkelbeweging:

In een eenparige cirkelbeweging worden in gelijke tijdsduren gelijke cirkelbogen doorlopen.

Voor de lengte van een cirkelboog nodig voor een omwenteling geldt:

s = 2πR

(omtrek van een cirkel)

Voor de tijd nodig voor een omwenteling geldt:

t = T

Voor de grootte van de baansnelheid geldt:

133

134

Deze formule vereenvoudigen we tot

135

136

137

Hierbij is ω (omega) de cirkelfrequentie of hoekfrequentie

met α de doorlopen middelpuntshoek in tijd t

Voor de lengte van de cirkelboog geldt

138

cirkelbeweging
symbool	grootheid	eenheid
s	afgelegde weg = booglengte	[ meter ]
v	snelheid	[meter/sekonde]
t	tijd	[sekonde]
α	middelpuntshoek	[radiaal]
R	straal	[meter]
ω	cirkelfrequentie(=hoekfreq)	[1/sekonde]
f	frequentie	[1/sekonde]
T	periode	[sekonde]

II.55� Opgaven

1�Op een tijdstip t = 0

is een vat geheel gevuld met vloeistof.Men opent klep 2 en houdt klep 1 dicht. Alle vloeistof stroomt uit het vat, vervolgens wordt klep 2 gesloten en klep 1 geopend, zodat het vat vol loopt..

Op het tijdstip

t = T

is het vat weer geheel gevuld met vloeistof.

Men herhaalt deze cyclus, en opent opnieuw klep 2, het vat stroomt leeg, klep 2 sluiten en klep 1 openen tot het vat weer gevuld is, enzovoort.

78

Gegeven:

T = 100 sekonde

de hoogte van het vloeistofnivo in het vat wordt gegeven door :

h( 0 ) = 1 meter

h ( t= 100 ) = 1 meter

Bovendien geldt:

h(40) = 0 meter

averklaar dat het vat in 40 sekonde leeg loopt en in 60 sekonde vol loopt.

ga uit van een konstante stroomsnelheid door de kleppen.

bgeef het funktievoorschrift van h als functie van t voor

0 £ t £ 40 sekonde

cgeef het funktievoorschrift van h als functie van t voor

40 £ t £ 100 sekonde

hint: de functie kan op het interval geschreven worden als h = at + b; bepaal de parameters a en b

dgeef het funktievoorschrift van h als functie van t voor

100 £ t £ 140 sekonde

egeef het funktievoorschrift van h als functie van t voor

140 £ t £ 200 sekonde

fLos op

Afbeelding 79 ontlading in TL-buis

h = 0,5

ggeef de evenwichtsstand en de amplitude en de periode van h. Teken tenslotte de grafiek van h voor 0 £ t £ 400

2� In een TL-buis (tube luminiscant) vindt periodiek een ontlading plaats doordat het gas dat de buis vult geleidend wordt. Een spanningsbron laadt via een weerstand een condensator op. Het gas in de buis ioniseert, waarbij de elektronen (negatieve lading) zich naar de positieve pool van de condensator bewegen en de ionen (positieve lading) zich naar de negatieve pool van de condensator bewegen. Hierbij zendt het geïoniseerde gas zichtbaar licht uit.. De spanning in de kondensator neemt snel af totdat de ontlading ophoudt . De condensator wordt nu opnieuw opgeladen door een uitwendige spanningsbron (door een gelijkrichter verbonden met het elektriciteitsnet ).

Bepaal de evenwichtsstand, de amplitude en de periode.

3� In de Verenigde Staten van Amerika hebben sommige staten een wisselspanning met een frequentie van 60 Hz en maximale spanning (amplitude)

v_MAX = 120 [Volt]

a bereken ω

b bepaal het funktievoorschrift van spanning als functie van tijd.

c teken deze functie in een assenstelsel voorzien van eenheden (met geschikt gekozen afmetingen)

d wat is de evenwichtsstand, de amplitude en de periode?

4� In een wisselstroomgenerator wordt een spanning opgewekt:

V = V_max sin ωt

V_max = 311 [Volt]

f = 50 Hz

Geef de spanning als functie van de tijd

Geef het kwadraat van de spanning als functie van de tijd ( =Energie)

wat is de evenwichtsstand, de amplitude en de periode van beide funkties?

5� Een stemvork waaraan een pen is bevestigd wordt in trilling gebracht en boven een strook papier gehangen.

Het papier rolt met een snelheid van 10 m/s langs de pen.

Over een afstand van 10 centimeter telt men 5 periodes op het ruitjespapier.

a bepaal voor dit probleem de frequentie van de stemvork.

De maximale uitwijking bedraagt A = 8 mm

bGeef het funktievoorschrift van de trillende stemvork als functie van de tijd.

---

[1]de toevoeging kleinste is noodzakelijk; immers de eigenschap dat de y waarden gelijk zijn geldt ook indien we 4π naar rechts gaan; ja we kunnen zelfs ieder geheel veelvoud van 2π naar rechts (of naar links) gaan om dezelfde y-waarde terug te vinden.