I. Gebroken funkties
II.1� Inleiding; de
functie y=1/x.
We gaan nu functies onderzoeken
die we kunnen opvatten als een breuk van twee lineaire funkties :
|
|
Om te beginnen bekijken we de
functie
y = 
Deze functie is niet gedefinieerd
als x = 0.
Delen door 0 mag niet.
Het domein is
x Î
Å \ {0}
dat zijn alle getallen in Å behalve 0
We maken nu een tabel van de
functie
y =
We kunnen volstaan met een
tabel voor positieve x-waarden doordat we opmerkten dat deze functie puntsymmetrisch
is ten opzichte van de oorsprong: er geldt dus
f(-x) = -f(x)
Gevolg: zetten we in de tabel
een minteken bij de waarde van x dan krijgen we een minteken bij de waarde van
y
|
Afbeelding 39 y=1/x |
Men noemt de grafiek van de
functie
y =
een hyperbool.
II.3� asymptoten
Als we in de functie
y =
voor x een groot getal
invullen, dan wordt y een klein getal. Naarmate x groter wordt, wordt y
kleiner, voor steeds grotere x nadert y tot 0.
Dat betekent dat y zo klein
gemaakt kan worden als we willen, door x groot genoeg te kiezen.
Bijvoorbeeld nemen we
x = 1 000 000 dan is y = 0.000
000 1
x = 1 000 000 000 dan is y =
0.000 000 000 1
We zeggen:
de grafiek van de functie
|
|
nadert de lijn y = 0 (de x-as) voor grote x.
De lijn y = 0 is de
asymptoot van de functie
y =
voor grote x.
Dit betekent dat de grafiek van
f voor grote x steeds dichter bij de rechte lijn y=0 komt te liggen. De
grafiek van f nadert de asymptoot y = 0, de grafiek en de asymptoot raken
elkaar niet.
De waarde van y nadert tot 0,
maar y wordt nooit 0.
Hetzelfde verhaal geldt als we
x groot laten worden in de negatieve richting.
Als x negatief is en steeds
kleiner wordt (meer naar links op de x-as) dan nadert y ook tot 0.
Bijvoorbeeld nemen we
x = - 1 000 000 dan is y =
-0.000 000 1
x = - 1 000 000 000 dan is y =
-0.000 000 000 1
De lijn y=0 (x-as) is de horizontale
asymptoot, voor x zeer groot positief/negatief.
Dit noteert men als: x ®
± ¥ (x gaat naar plus of min oneindig, x wordt een steeds groter getal).
Nu kijken we wat er gebeurt als
we voor x een klein positief getal invullen, dat is een getal in de buurt van
0.
Bijvoorbeeld
x = 0.000 001 dan is y = 1 000
000
x = 0.000 000 001 dan is y = 1
000 000 000
Er geldt voor kleine positieve
getallen x dat y groot wordt
Dat betekent dat y zo groot
gemaakt kan worden als we willen, door x positief en klein genoeg te kiezen.
Dit betekent dat de grafiek van
f voor positieve kleine waarden van x steeds dichter bij de rechte lijn x=0
(de y-as) komt te liggen. De grafiek van f nadert de asymptoot x = 0,
de grafiek en de asymptoot raken elkaar niet.
Als we voor x een negatief
getal in de buurt van 0 invullen, zien we iets soortgelijks.
Bijvoorbeeld
x = - 0.000 001 dan is y = - 1
000 000
x = - 0.000 000 001 dan is y =
-1 000 000 000
De grafiek van f nadert de asymptoot x = 0
voor x in de buurt van 0, de grafiek en de asymptoot raken elkaar niet.
De waarde van x nadert tot 0,
maar x wordt nooit 0.
(delen door 0 kan niet). Zie
ook de grafiek in afbeelding.
De lijn x=0 (y-as) is de vertikale
asymptoot voor x ® 0 , (x gaat naar nul, x wordt een steeds kleiner
getalletje ).
II.5� Omgekeerd
evenredig
Uit
y =
volgt
y×x
= 1
In het algemeen geldt dat als
het produkt van twee grootheden konstant is (bijvoorbeeld 1) dan kunnen we de
grootheden uitdrukken in een gebroken functie. Men spreekt in dit verband van
omgekeerd evenredig: als x twee maal zo groot wordt dan wordt y twee
maal zo klein, enzovoorts. Dit noteert men als y µ ,
men komt ook nog tegen de oude notatie y ~ . Dit
betekent dus dat er een konstant getal c is zodanig dat geldt y = c.,
oftewel y.x = c.
II.7� VRAGEN
11�Gegeven de functie:
y =
a� Vul de volgende tabel in
x1000=1031041051061071081091010
y10-3
b� Vul ook de volgende tabel in
x0.1=10-110-210-310-510-610-710-810-9
y10
c� leg uit dat uit de tabel blijkt dat voor grote waarde van x de
waarde van y nadert tot 0;
y = 0 is een asymptoot van de
functie.
d� leg uit dat uit de tabel blijkt dat voor steeds kleinere
positieve waarde van x de waarde van y steeds groter wordt;
x = 0 is een asymptoot van de
functie.
2� Gegeven de functie
f(x) = 1000
x
geef de asymptoten van deze
functie.
3� Gegeven de functie
f(x) = -
teken de grafiek van deze
functie en geef ook de vergelijking van de horizontale en van de vertikale
asymptoot.
II.9� Toepassingen
II.10�a� Voorbeeld
1, wet van Boyle
De engelsman Boyle heeft omstreeks
1650 vastgesteld dat als van een bepaalde gasmassa bij konstante temperatuur
het volume verkleind wordt, de druk evenredig groter wordt. Het resultaat
staat bekend onder de naam: de wet van Boyle.
p×V
= constant ( mits T temperatuur en N aantal deeltjes konstant zijn)
4 vul onderstaande tabel in
V (in liter)20151085
p (in bar)1.5
opdracht
teken de grafiek van p (in bar)
tegen V (in liter)
de grafiek kent twee asymptoten.
Welke zijn dat?
II.10�c� Voorbeeld
2, draaimoment
Een balk rust in evenwicht op
een as, en is vrij draaibaar om deze as; zie onderstaande afbeelding. Op een
afstand van
Ook kan men op een afstand van
een œ meter een gewicht met een massa van
F Ž
r = 50
Dit heet het (draai)moment
van de kracht.
We zien dat de balk in evenwicht
is als F Ž
r = 50 dus als
|
|
|
Afbeelding 40 evenwicht van draaimomenten |
opdracht
teken de grafiek van F (in Newton)
tegen r (in meter)
de grafiek kent twee asymptoten.
Welke zijn dat?
II.10�e� Voorbeeld
3, wet van Ohm
De wet van Ohm luidt:
U = I×R
Hierin is U [Volt] de potentiaal van de spanningsbron ,
I [Ampère] de stroomsterkte en R [Ohm] de weerstand. Gegeven een spanningsbron
van 5 [Volt]
en een variabele weerstand R
[Ω].
De stroomsterkte als functie
van de weerstand is
|
Afbeelding 41 Ohm: I=U/R |
opdracht
teken de grafiek van I (in
Ampère) tegen R (in Ohm)
de grafiek kent twee asymptoten.
Welke zijn dat?
II.10�g� Voorbeeld
4, gemiddelde snelheid
Gegeven een weg met een lengte
van 200 [km]
Iemand rijdt op de heenweg met
een (konstante) snelheid:
v1 = 100
[km/uur]
en op de terugweg met een konstante
snelheid:
v2 = 50
[km/uur].
Bereken de gemiddelde snelheid.
Uitwerking
We gaan uit van de vergelijking
voor eenparige beweging:
s = v ×
t
Op de heenweg wordt dit:
200 = 100 ×
t1
met t1 [uur] de
tijdsduur waarmee met snelheid v1 = 100 [km/uur] gereden
is.
Op de terugweg wordt dit:
200 = 50 ×
t1
met t2 [uur] de
tijdsduur waarmee met snelheid v2 = 50 [km/uur] gereden
is.
Hieruit volgt:
t1 = 2 [uur]
t2 = 4 [uur]
Voor de gemiddelde snelheid
geldt:
stotaal = vgemiddeld
× ttotaal
stotaal = 200 + 200
= 400 [km]
ttotaal = t1
+ t2 = 2 + 4 = 6 [uur]
dus
vgemiddeld = 400 ž
6 = 66_ [km/uur]
|
Afbeelding 42 v=200/t |
In bovenstaande figuur is de
grafiek van
getekend.
N.B.: We kunnen dus niet
de twee snelheden bij elkaar optellen en door 2 delen (150 ž
2 = 75).We kunnen de gemiddelde snelheid ook vinden door in de grafiek te
kijken bij het gemiddelde van t:
tgemiddeld = t1
+ t2
───────
2
tgem = 2 + 4 = 6 ž
2 = 3
──────
2
II.10�i� Voorbeeld
5, toerental
Een wiel draait rond met hoeksnelheid
ω (eenparige cirkelbeweging). De (baan)snelheid van een punt op de rand
van het wiel wordt gegeven door
v = ω Ž
R
met R de straal van het wiel.
Het toerental f (frekwentie)
wordt gegeven door
Geef het toerental als functie
van de straal als gegeven is
v = 10 [m/s]
Oplossing:
opdracht
teken de grafiek van f (in
Hertz = per sekonde) tegen R (in meter)
de grafiek kent twee asymptoten.
Welke zijn dat?
II.10�k� Voorbeeld
6, snijpunt hyperbool met lineaire functie
Berekenen snijpunt van een
hyperbool met een rechte lijn.
Gegeven de functies
f(x) = 
g(x) = 3 x - 9
Bereken de snijpunten van f en
g
Teken de grafiek van f en g in
één afbeelding.
Oplossing:
In het snijpunt geldt:
f(x) = g(x) gelijkstellen
= 3x
- 9 invullen
-6 = 3x2 - 9x ×x
0 = 3x2 - 9x + 6 +6 op 0 herleiden
0 = x2 - 3x + 2 ž3
-2-1=-3
-2×-1=2
(x - 2)×(x
- 1) = 0 ontbinden
in faktoren
x - 2 = 0 Úx
- 1 = 0 faktoren 0
stellen
x = 2Úx = 1 x-koördinaten
s.p.
f(2)=g(2)=-
snijpunten
(1 , -6)(2 , -3) OPLOSSING
GEVONDEN
Indien we de grafiek tekenen
van de funkties f en g dan zien we de snijpunten:
(1 , -6) en (2 , -3).
|
Afbeelding 43 3x-9 = -6/x |
II.10�m� Voorbeeld
8, raaklijn aan hyperbool
Gegeven de functie
f(x) =
Bepaal de vergelijking van de
rechte lijn die evenwijdig is aan de rechte lijn met functie voorschrift
g(x) = 3x - 9
en raakt aan de grafiek van f
Oplossing
Een lijn die evenwijdig loopt
aan
g(x) = 3x - 9
heeft dezelfde richtingskoefficient
als de functie g. De vergelijking van zo'n lijn is dan
h(x) = 3x + b
met b Î
Å
|
Afbeelding 44 y=-6/x en nomogram van y=3x+b |
In bovenstaande afbeelding is
voor verschillende waarden van b een grafiek van de functie h getekend.
Bepalen van het raakpunt:
Antwoord
f(x) = g(x) gelijkstellen
= 3x
+ b invullen
-6 = 3x2 + bx ×x
0 = 3x2 + bx + 6 +6
op
0 herleiden
Noodzakelijk voor een raakpunt
D = 0
b2 - 4×3×6
= 0
b2 = 72
b = Ö72 of
b = -Ö72
Er zijn dus twee raaklijnen die
evenwijdig lopen aan de functie g(x)
h1(x) = 3x + Ö72
h2(x) = 3x - Ö72
} zijn de vergelijkingen van de raaklijnen met r.c. = 3
Opdracht
Bereken nu zelf de koördinaten
van de snijpunten
II.11� VRAGEN
1�Gegeven de formule
x×y
= -œ
a geef y als functie van x
b geef deze functie weer met de pijlnotatie
cals gegeven is de rechte lijn
met vergelijking
l(x) = 2x + c
bepaal dan c Î
Å zodanig dat de rechte lijn l deze functie raakt.
dGeef de koördinaten van het
raakpunt
eGeef de vergelijkingen van de
raaklijnen
f Geef de vergelijking van een
lijn met richtingskoëfficient 2 die de functie niet snijdt.
2�Gegeven de functie
f(x) = 
ateken de grafiek van f
b teken in dezelfde figuur ook
de grafiek van de lijn y = x
cGeef een funktievoorschrift
van een lijn die loodrecht staat op de lijn y = x
dGeef een funktievoorschrift
van alle lijnen die loodrecht staan op de lijn y = x
eBepaal de raaklijnen aan de
functie f, die loodrecht staan op de lijn y = x
fBereken de koördinaten van de
raakpunten.
3�Gegeven de functie
f(x) = 
en het punt P(1,1)
aGeef de vergelijking van de
raaklijnen aan de functie f die door het punt P gaan.
bTeken de grafiek van de
functie f
II.13� Eerste
graads gebroken funkties
Tot nu toe hebben we functies
beschouwd van het type
y = 
+ b
Nu onderzoeken we functies van
het type
|
|
Dit kun je opvatten als het delen
van twee lineaire functies op elkaar.
Voorbeeld 1
Gegeven de functie
|
|
Onderzoek deze functie en teken
de grafiek.
oplossing
Het domein van f is
Df = Å \ {2}
Het domein van f bestaat uit
alle reële getallen behalve het getal 2.
Immers voor x = 2 wordt de
noemer = 0
Maar dan is de lijn : x = 2 de
vertikale asymptoot, want door x steeds meer in de buurt van 2 te kiezen
kunnen we y zo groot (in [positieve of negatieve richting) krijgen als we
willen. De asymptoot is dus een vertikale lijn waartoe de functie nadert voor
getallen in de buurt van 2; de functie y is niet gedefinieerd voor het getal x
= 2 .
De horizontale asymptoot
vinden we door f anders te schrijven (teller en noemer delen door x)
|
|
Hierdoor zien we dat als we
voor x een steeds groter positief getal invullen de functie f nadert tot de
lijn
|
|
|
|
Dit is de vergelijking van de
horizontale asymptoot.Bijvoorbeeld voor x=106=1000000 (1 miljoen)
Nemen we een getal dat nog
groter is dan x = 106 dan komen we nog dichter in de buurt van y =
-2.
Immers zowel 
als 
naderen dan tot 0 en y nadert
tot 
.
De vergelijking van de horizontale
asymptoot is de lijn
y = -2
Nu we de asymptoten gevonden
hebben, berekenen we nog enige interessante punten:
Nulpunten:
de snijpunten met de x-as worden
gevonden door de teller = 0 te stellen:
|
|
Nulpunt ( -3 , 0)
2
Snijpunten y-as:
x = 0
|
|
(0, 3)
2
is het snijpunt met de y-as
We kunnen nu nog een tabel
maken en een paar extra punten berekenen om de functie te tekenen.
|
Afbeelding 45 y=(2x+3)/(-x+2) |
Tenslotte: we kunnen de
asymptoot ook vinden door een staartdeling uit te voeren:
dus we kunnen ook schrijven:
|
|
Kontroleer dit en bedenk hoe
hieruit de asymptoten bepaald kunnen worden.
Voorbeeld 2
Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken
de grafiek.
oplossing
Het domein van f is
Df = Å \ {-1,5}
Het domein van f bestaat uit
alle reële getallen behalve het getal -1,5.
Immers voor x = -1,5 wordt de noemer
= 0:
-x - 1,5 = 0
-x = 1,5
x = -1,5
dus de functie y is niet
gedefinieerd voor
x = -1,5 (delen door 0 mag
niet).
In alle andere gevallen kunnen
we schrijven:
|
|
De functie f is dus gelijk aan
de konstante functie met vergelijking
y = -2 mits x ¹
-1,5
|
Afbeelding 46 y=(2x+3)/(-x-1,5)=-2 als x¹-1,5 |
De grafiek van f is dus gelijk
aan de horizontale lijn y = -2, met een gat voor x = -1,5. Indien we nu een
staartdeling uitvoeren zien we dit duidelijk gedemonstreerd: de restterm van de
deling =0.
II.14�a� Algemeen
Gegeven de functie
|
|
Het domein van f is
Df = Å \ { 
)
Als geldt
a ž
b = c ž d
dan kunnen we f schrijven als
een konstante functie, behalve voor x=.
Als
a ž
b ¹ c ž d dan geldt:
De vergelijking van de
vertikale asymptoot is de lijn
x =
De vergelijking van de horizontale
asymptoot is de lijn
y = 
Het snijpunt met de x-as is
( 
, 0)
Het snijpunt met de y-as is
( 0 , 
)
II.15� VRAGEN
1�Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken de
grafiek
2�Gegeven de grafiek in onderstaande
afbeelding. Het nulpunt is
( 1_ , 0 )
Wat is het funktievoorschrift?
|
Afbeelding 47 bepaal het funktievoorschrift |
3�Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken
de grafiek.
4�Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken
de grafiek.
5�Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken
de grafiek.
6�Gegeven de functie
|
|
Onderzoek de functie en teken
de grafiek.
7�Gegeven de functie
|
|
en de functie
g(x) = x + p
met parameter p Î
Å
aVoor welke waarden van p
hebben de functies f en g twee snijpunten?
bVoor welke waarden van p
hebben de functies f en g één snijpunt?
cVoor welke waarden van p
hebben de functies f en g nul (=geen) snijpunten?
dTeken de grafiek van f, en
teken ook voor enkele gevonden waarden van p de grafiek van p.
8�Gegeven de functie
|
|
Bepaal de vergelijking van de
lijnen die door de oorsprong gaan en raken aan de grafiek van f.
9�Gegeven de onderstaande
grafieken. Bepaal de funktievoorschriften.
|
Afbeelding 48 bepaal het funktievoorschrift
Afbeelding 49 bepaal het funktievoorschrift
Afbeelding 50 bepaal het funktievoorschrift
Afbeelding 51 bepaal het funktievoorschrift |
10�Een hoeveelheid lucht , massa m
= 1 [kg] met een Temperatuur T = 273 [Kelvin] voldoet aan de vergelijking:
P×V
= 78351 {Newton×meter]
a�Wat is het domein van de druk p
als functie van het volume V?
b�Wat is het bereik?
c�Geef de vergelijkingen van de
asymptoten.
d�Teken de druk p als functie van
het volume V. Zet eenheden langs de assen.Kies een geschikte schaalverdeling
(groot genoeg met betrekking tot het gebruikte ruitjespapier)
11�Een chemische verbinding ontleedt.
Het verband tussen de concentratie
c [mol/liter] van de verbinding en de tijd t [sekonde] is
|
|
a Wat is het domein van de functie?
b Teken de grafiek van de functie.
cbepaal de asymptoten.
12�Een geluidsgolf met golflengte
λ [meter] en frequentie f [Hz] heeft een snelheid
|
|
aNeem v = 332 [meter/sekonde]
(hoorbaar geluidsgebied, lucht 273 K)
teken de grafiek van λ als
functie van f voor f Î [100 Hz , 14000 Hz]
13�Een lichtgolf met golflengte
λ [meter] en frequentie f [Hz] heeft een snelheid
c = 300 000 000 [m/s]
Het verband tussen lichtsnelheid,
golflengte en frequentie van het licht is
|
|
a�teken de grafiek van λ als
functie van f voor
f Î
[4×1014 Hz , 8×1014 Hz].(zichtbaar licht)
b�Geef de asymptoten van de
grafiek.